✅ 状況設定 / Problem Setup
-
質量：$m$
-
入力（外力）：$F(t)$
-
出力（位置）：$x(t)$
-
運動方程式：
$$
m \frac{d^2x(t)}{dt^2} = F(t)
$$ -
初期条件：
$$
x(0) = x_0, \quad \dot{x}(0) = v_0
$$
✅ ラプラス変換（初期条件含む） / Laplace Transform (with Initial Conditions)
運動方程式のラプラス変換（初期条件あり）：
$$
m \left[ s^2 X(s) - s x_0 - v_0 \right] = F(s)
$$
整理して：
$$
X(s) = \underbrace{\frac{1}{m s^2} F(s)}{\text{外力応答 / Input Response}} + \underbrace{\frac{x_0}{s} + \frac{v_0}{s^2}}{\text{初期条件応答 / Initial Condition Response}}
$$
✅ 出力の構造 / Output Formula Summary
$$
X(s) = G(s) \cdot F(s) + X_{\text{init}}(s)
$$
-
伝達関数（Transfer Function）：
$$
G(s) = \frac{1}{m s^2}
$$ -
初期条件応答（Initial Response）：
$$
X_{\text{init}}(s) = \frac{x_0}{s} + \frac{v_0}{s^2}
$$
✅ 時間領域での解 / Time-Domain Solution
入力が定数 $F(t) = mg$ のとき：
$$
x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} g t^2
\quad \left( g = \frac{F}{m} \right)
$$
✅ 状況設定 / Problem Setup
-
質量：$m$
-
ばね定数：$k$
-
外力：$F(t) = 0$
-
初期条件：
$$
x(0) = x_0, \quad \dot{x}(0) = v_0
$$
✅ 運動方程式 / Equation of Motion
$$
m \frac{d^2x(t)}{dt^2} + k x(t) = 0
$$
両辺を $m$ で割って：
$$
\frac{d^2x(t)}{dt^2} + \omega^2 x(t) = 0
\quad \text{where } \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}
$$
✅ ラプラス変換（初期条件あり）/ Laplace Transform
$$
m \left[ s^2 X(s) - s x_0 - v_0 \right] + k X(s) = 0
$$
整理：
$$
X(s) = \frac{m s x_0 + m v_0}{m s^2 + k} = \frac{s x_0 + v_0}{s^2 + \omega^2}
$$
✅ 時間領域解 / Time-Domain Solution
逆ラプラス変換より：
$$
x(t) = x_0 \cos(\omega t) + \frac{v_0}{\omega} \sin(\omega t)
\quad \text{（単振動 / Undamped Oscillation）}
$$
✅ 状況設定 / Problem Setup
- 回路構成：直列RC回路
- 入力電圧：$u(t) = E \cdot 1(t)$（ステップ電圧）
- 出力：コンデンサ電圧 $v_C(t)$
✅ 回路方程式（微分方程式）/ Circuit ODE
キルヒホッフの電圧法則（KVL）：
$$
E = v_R(t) + v_C(t) = R \frac{dq(t)}{dt} + \frac{q(t)}{C}
$$
電荷 $q(t) = C v_C(t)$ より：
$$
RC \frac{dv_C(t)}{dt} + v_C(t) = E
$$
✅ ラプラス変換（ゼロ初期条件）/ Laplace Transform
$$
RC \cdot s V_C(s) + V_C(s) = \frac{E}{s}
\quad \Rightarrow \quad
V_C(s) = \frac{E}{s (RC s + 1)}
$$
✅ 伝達関数 / Transfer Function
$$
G(s) = \frac{V_C(s)}{U(s)} = \frac{1}{RC s + 1}
\quad \text{where } U(s) = \frac{E}{s}
$$
✅ 出力応答（時間領域）/ Time Response
$$
v_C(t) = E \left(1 - e^{-t / (RC)} \right)
$$
✅ 特性 / Characteristics
| 項目 | 値 |
|---|---|
| 時定数 | $\tau = RC$ |
| 初期値 | $v_C(0) = 0$ |
| 定常値 | $v_C(\infty) = E$ |
| 応答形式 | 指数関数的立ち上がり（1次遅れ） |
✅ 1. 状況設定 / Problem Setup
- $N(t)$：時刻 $t$ における放射性核種の量（または濃度）
- $\lambda$：崩壊定数（decay constant）、単位は $[1/\text{s}]$
- $T_{1/2}$：半減期（half-life）
$$
\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}
$$
✅ 2. 微分方程式（崩壊モデル）/ Differential Equation
$$
\frac{dN(t)}{dt} = -\lambda N(t)
$$
✅ 3. 解（時間領域）/ Solution in Time Domain
$$
N(t) = N_0 e^{-\lambda t}
\quad (\text{初期値 } N(0) = N_0)
$$
✅ 4. ラプラス変換（初期値あり）/ Laplace Transform
$$
\mathcal{L} \left{ \frac{dN}{dt} \right} = s N(s) - N_0
$$
代入して整理：
$$
s N(s) - N_0 = -\lambda N(s)
\quad \Rightarrow \quad
N(s) = \frac{N_0}{s + \lambda}
$$
✅ 5. 伝達関数 / Transfer Function
外部入力（例：核種供給やシステム応答）を $U(s)$、出力を $Y(s)$ としたとき：
$$
\frac{dN}{dt} + \lambda N = u(t)
\Rightarrow
Y(s) = \frac{1}{s + \lambda} U(s)
$$
つまり、1次低域フィルタと同形：
$$
G(s) = \frac{1}{s + \lambda}
$$