クラメルの公式（Cramer's Rule）
A\vec{x} = \vec{b}
ただし $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ が正則（$\det(A) \ne 0$）のとき、解は以下で与えられる：
x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)} \quad (i = 1, 2, ..., n)
ここで $A_i$ は $A$ の第 $i$ 列を $\vec{b}$ に置き換えた行列。
🐢 つるかめ算の例題（Cramer's Ruleで解く）
問題：
鶴と亀が合わせて10匹います。足の数の合計は28本でした。
鶴は2本足、亀は4本足です。鶴と亀の数を求めてください。
Step 1: 連立方程式の構築
- $x$：鶴の数（足2本）
- $y$：亀の数（足4本）
条件：
x + y = 10 \\
2x + 4y = 28
Step 2: 行列の形にする
連立方程式を行列で表す：
A = \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
2 & 4
\end{bmatrix},
\quad
\vec{x} = \begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix},
\quad
\vec{b} = \begin{bmatrix}
10 \\
28
\end{bmatrix}
つまり：
A \vec{x} = \vec{b}
Step 3: クラメルの公式を使う
行列式：
\det(A) =
\begin{vmatrix}
1 & 1 \\
2 & 4
\end{vmatrix}
= 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 = 2 \ne 0
鶴の数（$x$）を求める：
行列 $A_1$（第1列を$\vec{b}$で置換）：
A_1 = \begin{bmatrix}
10 & 1 \\
28 & 4
\end{bmatrix}
\det(A_1) = 10 \cdot 4 - 1 \cdot 28 = 40 - 28 = 12
x = \frac{\det(A_1)}{\det(A)} = \frac{12}{2} = 6
亀の数（$y$）を求める：
行列 $A_2$（第2列を$\vec{b}$で置換）：
A_2 = \begin{bmatrix}
1 & 10 \\
2 & 28
\end{bmatrix}
\det(A_2) = 1 \cdot 28 - 10 \cdot 2 = 28 - 20 = 8
y = \frac{\det(A_2)}{\det(A)} = \frac{8}{2} = 4
✅ 結果
- 鶴：$x = 6$ 匹
- 亀：$y = 4$ 匹
テイラー展開（Taylor Expansion）
関数 $f(x)$ が点 $x = a$ で無限回微分可能なら、
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n
特に $a = 0$ のとき：
\exp(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots \\
\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \cdots \\
\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \cdots
テイラー展開による物理・化学の近似式
1. 放射減衰・崩壊（指数関数）
放射性崩壊・反応速度論：
N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \approx N_0(1 - \lambda t + \frac{(\lambda t)^2}{2})
（短時間近似：$\lambda t \ll 1$）
2. ボルツマン因子（統計力学）
e^{-E/kT} \approx 1 - \frac{E}{kT} + \frac{1}{2}\left(\frac{E}{kT}\right)^2
（$E \ll kT$ のときの展開）
3. 調和振動子・振り子運動（$\sin\theta$ の近似）
\sin \theta \approx \theta \quad (\theta \ll 1)
より：
\ddot{\theta} + \frac{g}{L} \theta = 0
（単振動とみなせる）
4. 運動エネルギーの相対論補正（平方根）
E = mc^2 \left( \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - 1 \right)
\approx \frac{1}{2}mv^2 + \frac{3}{8} \frac{mv^4}{c^2} + \cdots
（$v \ll c$ のときの展開）
5. クーロンポテンシャルの双極展開（二項定理）
\frac{1}{\sqrt{r^2 + d^2 - 2rd\cos\theta}} \approx \frac{1}{r} + \frac{d\cos\theta}{r^2}
（$d \ll r$ のとき：点電荷近似 → 双極子ポテンシャル）
6. 化学平衡定数の温度依存性（対数関数）
ファントホッフの式：
\ln K = -\frac{\Delta H^\circ}{RT} + \frac{\Delta S^\circ}{R}
温度変化 $\Delta T$ に対して：
\ln K(T + \Delta T) \approx \ln K(T) - \frac{\Delta H^\circ}{RT^2} \Delta T
7. アレニウス式（指数関数の近似）
k = A e^{-E_a/RT} \approx A \left(1 - \frac{E_a}{RT} + \frac{1}{2}\left(\frac{E_a}{RT}\right)^2 \right)
（$E_a \ll RT$ のとき）
8. ファンデルワールス気体（逆数展開）
P = \frac{RT}{V - b} - \frac{a}{V^2}
\approx \frac{RT}{V} \left(1 + \frac{b}{V}\right) - \frac{a}{V^2}
（$b \ll V$ のとき、$\frac{1}{V - b} \approx \frac{1}{V} + \frac{b}{V^2}$）
まとめ表
| 現象・式 | 展開例 | 用途・近似条件 |
|---|---|---|
| 放射性崩壊 | $e^{-\lambda t}$ | $\lambda t \ll 1$ |
| ボルツマン因子 | $e^{-E/kT}$ | $E \ll kT$ |
| 単振動近似 | $\sin\theta \approx \theta$ | $\theta \ll 1$ |
| 相対論運動 | $\sqrt{1 - v^2/c^2}$ | $v \ll c$ |
| クーロン展開 | $1/\sqrt{r^2 + d^2 - 2rd\cos\theta}$ | $d \ll r$ |
| 平衡定数 | $\ln K$ | $\Delta T \ll T$ |
| アレニウス式 | $e^{-E_a/RT}$ | $E_a \ll RT$ |
| ファンデルワールス式 | $1/(V - b)$ | $b \ll V$ |
最小二乗法と線形回帰（Least Squares & Linear Regression）
観測点 $(x_i, y_i)$ に対し、回帰直線 $y = ax + b$ を最小二乗でフィッティング。
誤差関数：
E(a, b) = \sum_{i=1}^n (y_i - (ax_i + b))^2
この $E$ を最小化する $a$, $b$ は以下：
a = \frac{n\sum x_iy_i - \sum x_i \sum y_i}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2} \\
b = \frac{\sum y_i - a\sum x_i}{n}
逆三角関数と積分（Inverse Trig Functions & Integrals）
\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx = \arcsin(x) + C \\
\int \frac{1}{1 + x^2} dx = \arctan(x) + C \\
\int \frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}} dx = \arcsec(x) + C
双曲線関数と積分（Hyperbolic Functions & Integrals）
定義：
\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \\
\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \\
\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}
代表的な積分：
\int \sinh x \, dx = \cosh x + C \\
\int \cosh x \, dx = \sinh x + C \\
\int \frac{1}{\cosh^2 x} dx = \tanh x + C \\
\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} dx = \sinh^{-1}(x) + C
オイラーの公式と極座標（Euler's Formula & Polar Coordinates）
オイラーの公式：
e^{ix} = \cos x + i \sin x
特に：
e^{i\pi} + 1 = 0
複素数表示（極座標）：
z = re^{i\theta} = r(\cos \theta + i\sin \theta)
極座標系での点 $(x, y)$ 表現：
x = r \cos \theta,\quad y = r \sin \theta
偏微分と勾配（Partial Derivatives & Gradient）
偏微分：
\frac{\partial f}{\partial x},\quad \frac{\partial f}{\partial y}
勾配ベクトル：
\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \dots \right)
勾配は関数が最も急激に増加する方向を示す。
ロピタルの定理（L'Hôpital's Rule）
不定形 $\frac{0}{0}$ または $\frac{\infty}{\infty}$ の極限に対して：
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}
例：
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1
外積（Cross Product）
2つのベクトル $\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R}^3$ に対して：
\vec{a} \times \vec{b} =
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3
\end{vmatrix}
=
(a_2b_3 - a_3b_2)\vec{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\vec{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\vec{k}
性質：
-
$\vec{a} \times \vec{b}$ は $\vec{a}, \vec{b}$ に垂直。
-
大きさ：
|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta
重積分とヤコビアン（Multiple Integrals & Jacobian）
変数変換 $(x, y) \to (u, v)$ において、面積要素はヤコビアンによって補正される。
一般的な2次元変換：
\iint_D f(x, y)\,dx\,dy
= \iint_{D'} f(x(u,v), y(u,v)) \cdot \left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right| \,du\,dv
ヤコビアン（Jacobian）とは：
J = \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} =
\begin{vmatrix}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}
\end{vmatrix}
特に極座標変換（$x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta$）では：
\left| \frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)} \right| = r
放物線と直線で囲まれた面積の1/6公式（Parabola × Line Area Formula）
放物線 $y = (x - \alpha)(x - \beta)$ を $\alpha < x < \beta$ で積分すると：
\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta)\,dx = -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3
この「1/6公式」により、放物線と$x$軸・2点$\alpha,\beta$で囲まれた面積を素早く求められる。
一般化：ベータ関数の積分公式（Beta Integral Formula）
より一般に、$m,n$を自然数として次が成り立つ：
\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)^m (\beta - x)^n\,dx
= \frac{m! \cdot n!}{(m + n + 1)!}(\beta - \alpha)^{m + n + 1}
この式はベータ関数の次の性質を使って導ける：
B(m+1, n+1) = \int_0^1 t^m (1 - t)^n dt = \frac{m! \cdot n!}{(m + n + 1)!}
ガンマ関数とベータ関数（Gamma & Beta Functions）
ガンマ関数（Gamma Function）
\Gamma(z) = \int_0^{\infty} x^{z - 1} e^{-x} dx \quad (z > 0)
性質：
\Gamma(n) = (n - 1)! \quad \text{for } n \in \mathbb{N}
ベータ関数（Beta Function）
B(p, q) = \int_0^1 t^{p - 1} (1 - t)^{q - 1} dt
= \frac{\Gamma(p) \Gamma(q)}{\Gamma(p + q)}
これを用いて、定積分の形に落とし込める：
\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)^m (\beta - x)^n dx
= (\beta - \alpha)^{m+n+1} B(m+1, n+1)
応用例：$m = n = 1$ のとき
\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)^1 (\beta - x)^1 dx
= \frac{1! \cdot 1!}{(1 + 1 + 1)!} (\beta - \alpha)^3
= \frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3
ラプラス変換と伝達関数（Laplace Transform & Transfer Function）
ラプラス変換の定義
時間領域の関数 $f(t)$ に対して、ラプラス変換は以下で定義される：
\mathcal{L}[f(t)] = F(s) = \int_0^\infty e^{-st} f(t)\, dt
基本的なラプラス変換
| 関数 $f(t)$ | ラプラス変換 $F(s)$ |
|---|---|
| $1$ | $\dfrac{1}{s}$ |
| $t$ | $\dfrac{1}{s^2}$ |
| $e^{at}$ | $\dfrac{1}{s - a}$ |
| $\sin(\omega t)$ | $\dfrac{\omega}{s^2 + \omega^2}$ |
| $\cos(\omega t)$ | $\dfrac{s}{s^2 + \omega^2}$ |
微分・積分に関する性質
微分：
\mathcal{L}\left[ \frac{df}{dt} \right] = sF(s) - f(0)
積分：
\mathcal{L}\left[ \int_0^t f(\tau) d\tau \right] = \frac{1}{s} F(s)
伝達関数の定義
線形時不変系の入力 $u(t)$ と出力 $y(t)$ の関係が以下の微分方程式で表されるとする：
a_n \frac{d^n y}{dt^n} + \cdots + a_1 \frac{dy}{dt} + a_0 y = b_m \frac{d^m u}{dt^m} + \cdots + b_0 u
両辺をラプラス変換し、初期条件 $0$ とすると、伝達関数 $G(s)$ は以下のように定義される：
G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{b_m s^m + \cdots + b_0}{a_n s^n + \cdots + a_0}
例：一次遅れ系
\tau \frac{dy}{dt} + y = Ku(t)
ラプラス変換を適用すると、
G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{K}{\tau s + 1}
留数定理と積分（Residue Theorem & Complex Integral）
留数定理
複素関数 $f(z)$ が閉曲線 $\gamma$ の内部に有限個の孤立特異点 $z_k$ をもつとき、
\oint_{\gamma} f(z)\, dz = 2\pi i \sum_k \operatorname{Res}(f, z_k)
ここで $\operatorname{Res}(f, z_k)$ は $f(z)$ の $z_k$ における留数。
単純極の留数計算
$f(z)$ が $z = a$ に単純極をもつとき、
\operatorname{Res}(f, a) = \lim_{z \to a} (z - a) f(z)
実積分への応用例
次の実数積分を複素関数で評価する：
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x^2 + 1}\, dx = \pi
対応する複素関数：
f(z) = \frac{1}{z^2 + 1} = \frac{1}{(z - i)(z + i)}
上半平面の閉曲線により囲まれる単純極は $z = i$。
その留数：
\operatorname{Res}(f, i) = \frac{1}{2i}
ゆえに複素積分値：
\oint f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \frac{1}{2i} = \pi
正弦積分の評価（Jordanの補題を使用）
\int_0^\infty \frac{\sin(ax)}{x}\, dx = \frac{\pi}{2} \quad (a > 0)
このような積分も留数定理と複素積分で評価される。
チェビシェフ多項式とチェビシェフフィルタ
（Chebyshev Polynomials & Chebyshev Filter）
チェビシェフ多項式（Chebyshev Polynomials）
チェビシェフ多項式 $T_n(x)$ は以下の漸化式で定義される直交多項式：
T_0(x) = 1,\quad T_1(x) = x \\
T_{n+1}(x) = 2x T_n(x) - T_{n-1}(x)
また、余弦関数との関係：
T_n(\cos \theta) = \cos(n \theta)
区間 $x \in [-1, 1]$ 上で直交性を持つ：
\int_{-1}^1 \frac{T_m(x) T_n(x)}{\sqrt{1 - x^2}} dx =
\begin{cases}
0 & (m \ne n) \\
\pi & (n = m = 0) \\
\frac{\pi}{2} & (n = m \ne 0)
\end{cases}
チェビシェフ近似の特徴
- 最小最大誤差（minimax）を抑える近似に最適
- 高速フーリエ変換的アルゴリズム（Chebyshev FFT）にも応用される
チェビシェフフィルタ（Chebyshev Filter）
アナログローパスフィルタの1種で、通過域での波形特性に応じて次の2種がある：
タイプI：通過域にリップル、遮断域は急減衰
振幅特性：
|H(j\omega)|^2 = \frac{1}{1 + \epsilon^2 T_n^2(\omega/\omega_c)}
- $T_n$ はチェビシェフ多項式
- $\epsilon$ はリップル係数
- $\omega_c$ は遮断周波数
タイプII：遮断域にリップル、通過域は平坦（実装困難）
フーリエ級数展開と最小二乗法
（Fourier Series & Least Squares Approximation）
フーリエ級数展開（Fourier Series）
区間 $[-\pi, \pi]$ 上の周期関数 $f(x)$ は以下のように展開される：
f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right)
係数は直交性を用いて次で与えられる：
a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx \\
b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) dx
最小二乗法との関係（Least Squares Fit）
フーリエ級数は直交関数系に対する最小二乗近似となっており、$N$次の部分和 $S_N(x)$ は $L^2$ ノルムにおける最良近似を与える：
S_N(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right)
誤差を最小にするという意味で、以下の距離を最小化する：
\int_{-\pi}^{\pi} |f(x) - S_N(x)|^2 dx
数列と母関数（Sequences & Generating Functions）
通常母関数（Ordinary Generating Function, OGF）
数列 ${a_n}$ に対する通常母関数は：
G(a_n; x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n
例1：等比数列
$a_n = 1$ のとき：
G(x) = \sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1 - x} \quad (|x| < 1)
例2：自然数列 $a_n = n$
G(x) = \sum_{n=1}^\infty n x^n = \frac{x}{(1 - x)^2}
指数母関数（Exponential Generating Function, EGF）
G(a_n; x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n x^n}{n!}
例：$a_n = 1$
G(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = e^x
応用：漸化式の解法
例えばフィボナッチ数列 $F_n$（$F_0 = 0, F_1 = 1, F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}$）の母関数 $G(x)$ を求めると：
G(x) = \frac{x}{1 - x - x^2}
これは閉形式（generating functionから直接）導出に利用できる。
Muirheadの不等式（Muirhead's Inequality）
定義
$n$ 個の非負実数 $a_1, a_2, \dots, a_n$ に対して、**対称平均不等式（symmetric mean inequality）**の一般化。
主要記法：多重指数と主軸順序（majorization）
2つのベクトル $\mathbf{p}, \mathbf{q} \in \mathbb{R}^n$ が**主軸順序（majorization）**関係：
\mathbf{p} \succ \mathbf{q}
を満たすとき、任意の非負実数列 $(x_1, \dots, x_n)$ に対して次の不等式が成立：
\sum_{\text{sym}} x_1^{p_1} \cdots x_n^{p_n}
\ge
\sum_{\text{sym}} x_1^{q_1} \cdots x_n^{q_n}
ここで「sym」はすべての対称置換をとった和。
例
$x, y > 0$ に対して、$(2, 0) \succ (1, 1)$ より：
x^2 + y^2 \ge 2xy
これは相加平均・相乗平均の不等式（AM ≥ GM）の特別な場合。
加法定理の行列表現（Matrix Form of Addition Theorems）
三角関数の加法定理：
\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \\
\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b
は、以下の行列式としても表現できる。
回転行列を使った行列表現
2次元回転行列：
R(\theta) =
\begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{bmatrix}
このとき、合成角 $\theta + \phi$ の回転は：
R(\theta + \phi) = R(\theta) R(\phi)
証明：
R(\theta) R(\phi) =
\begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta \\
\sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\cos\phi & -\sin\phi \\
\sin\phi & \cos\phi
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\cos(\theta+\phi) & -\sin(\theta+\phi) \\
\sin(\theta+\phi) & \cos(\theta+\phi)
\end{bmatrix}
数列とZ変換（Z-transform of Sequences）
Z変換の定義
離散信号（数列） ${a_n}$ に対して、Z変換は以下で定義される：
A(z) = \mathcal{Z}[a_n] = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^{-n}
これはラプラス変換の離散版であり、信号処理・ディジタル制御理論の基本。
例：定数列 $a_n = 1$
A(z) = \sum_{n=0}^\infty z^{-n} = \frac{1}{1 - z^{-1}} \quad (|z| > 1)
例：$a_n = r^n$
A(z) = \sum_{n=0}^\infty r^n z^{-n} = \frac{1}{1 - rz^{-1}} = \frac{z}{z - r}
AD変換とZ変換（A/D Conversion & Z-transform）
AD変換（Analog to Digital）
アナログ信号 $x(t)$ を、サンプリング周期 $T$ で標本化：
x[n] = x(nT) \quad (n = 0, 1, 2, \dots)
この列 ${x[n]}$ に対して Z変換を適用：
X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}
→ アナログ信号 $x(t)$ をディジタル信号 $x[n]$ に変換した後、Z変換で複素領域へ。
Z変換とラプラス変換の関係
連続時間ラプラス変換 $s$ と離散時間 Z変換 $z$ は次で対応：
z = e^{sT} \quad \text{または} \quad s = \frac{\ln z}{T}
よって、Z変換はラプラス変換の離散時間アナログといえる。
応用：ディジタル制御系と伝達関数
- アナログ系：ラプラス変換 → $G(s)$
- ディジタル系：Z変換 → $G(z)$
両者はサンプリング周期 $T$ による時間離散化で接続される。
漸化式と線形代数（Recurrence Relations & Linear Algebra）
一般2項線形漸化式
a_{n+2} = p a_{n+1} + q a_n
初期条件：$a_0$, $a_1$
特性方程式による解法（代数的アプローチ）
漸化式に対応する特性方程式：
x^2 - p x - q = 0
解が $r_1, r_2$ のとき、一般解は：
a_n = A r_1^n + B r_2^n
係数 $A, B$ は初期条件で決定する。
行列による表現（線形代数的アプローチ）
次のベクトル形式を考える：
\begin{bmatrix}
a_{n+1} \\
a_n
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
p & q \\
1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a_n \\
a_{n-1}
\end{bmatrix}
この再帰式を繰り返せば：
\begin{bmatrix}
a_n \\
a_{n-1}
\end{bmatrix}
= M^{n-1}
\begin{bmatrix}
a_1 \\
a_0
\end{bmatrix}, \quad
M = \begin{bmatrix}
p & q \\
1 & 0
\end{bmatrix}
→ 固有値・固有ベクトル展開により対角化して陽に解ける。
例：フィボナッチ数列
F_{n+2} = F_{n+1} + F_n, \quad F_0 = 0,\ F_1 = 1
特性方程式：
x^2 - x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}
一般解：
F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right)
有限和と和分差分学（Finite Sums & Discrete Calculus）
基本公式（高校数学）
1次：
\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}
2次：
\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
3次：
\sum_{k=1}^n k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2
差分（Discrete Derivative）
関数 $f(n)$ の前方差分：
\Delta f(n) = f(n+1) - f(n)
アナロジー（微分と同じ）：
f(n) \to f(n+1) - f(n) \approx f'(n)
例：
f(n) = n^2 \Rightarrow \Delta f(n) = (n+1)^2 - n^2 = 2n + 1
和分（離散積分）
積分に相当する操作：
\sum_{k=a}^{b} f(k) = F(b+1) - F(a) \quad \text{ただし } \Delta F(k) = f(k)
これは連続の基本定理：
\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
に相当。
例：漸化式と差分をつなぐ
a_{n+1} - a_n = 2n + 1 \Rightarrow \Delta a_n = 2n + 1
両辺を和分：
a_n = a_0 + \sum_{k=0}^{n-1} (2k + 1) = a_0 + n^2
よって：
a_n = a_0 + n^2
発展：和の記号で解く和分方程式（差分方程式）
漸化式：
a_{n+1} - a_n = r
解：
a_n = a_0 + rn
これは一次差分の解。
差分方程式の「階差→和→閉形式」へのアプローチは離散積分と対応。
ルベーグの収束定理：極限と積分の交換の正当化
なぜ必要か？
通常、「極限 → 積分」の順序交換は正しいと思われがちだが、必ずしも正当とは限らない。
\lim_{n \to \infty} \int f_n(x)\, dx
\quad\stackrel{?}{=}\quad
\int \lim_{n \to \infty} f_n(x)\, dx
この交換の妥当性を保証する理論が、以下の3つの収束定理です。
1. 単調収束定理（Monotone Convergence Theorem, MCT）
もし
f_n(x) \nearrow f(x) \quad \text{かつすべての } f_n(x) \ge 0
ならば、
\lim_{n \to \infty} \int f_n(x) dx = \int \lim_{n \to \infty} f_n(x)\, dx
2. 優収束定理（Dominated Convergence Theorem, DCT）
もし以下が成立：
- $f_n(x) \to f(x)$（各点収束）
- 絶対値を抑える積分可能な関数 $g(x)$ が存在して、すべての $n$ に対して
|f_n(x)| \le g(x)
ならば、
\lim_{n \to \infty} \int f_n(x)\, dx = \int \lim_{n \to \infty} f_n(x)\, dx
3. ファトゥの補題（Fatou's Lemma）
常に成り立つ不等式（一般性はあるが等号とは限らない）：
\int \liminf_{n \to \infty} f_n(x)\, dx
\le
\liminf_{n \to \infty} \int f_n(x)\, dx
【入れ替え問題】典型的な例題とその可否
✅ 正しく入れ替えできる例（DCT適用可能）
f_n(x) = \frac{x}{1 + n x^2},\quad x \in [0, 1]
解説：
- 各点で $f_n(x) \to 0$
- 優関数 $g(x) = \frac{1}{2\sqrt{n}}$ などで抑えられる
よって：
\lim_{n \to \infty} \int_0^1 f_n(x) dx = \int_0^1 \lim_{n \to \infty} f_n(x) dx = 0
❌ 入れ替えできない例（発散する例）
f_n(x) =
\begin{cases}
n & \text{if } 0 \le x \le \frac{1}{n} \\
0 & \text{if } \frac{1}{n} < x \le 1
\end{cases}
- 各 $f_n(x) \to 0$（各点収束）
- しかし
\int_0^1 f_n(x)\, dx = 1,\quad \forall n
よって：
\int \lim f_n(x)\, dx = 0,\quad
\lim \int f_n(x)\, dx = 1 \quad ⇒ \text{不一致}
→ DCTの条件を満たさない（優関数が存在しない）
✅ MCTで入れ替えできる例
f_n(x) = (1 - x)^n,\quad x \in [0, 1)
- $f_n(x)$ は $n$ 増加で単調減少 ⇒ $1 - f_n(x)$ は単調増加
- $f_n(x) \searrow 0$ ⇒ $1 - f_n(x) \nearrow 1$
よって：
\lim_{n \to \infty} \int_0^1 (1 - (1 - x)^n)\, dx = \int_0^1 1\, dx = 1
包絡線の定義と例題
包絡線の定義
パラメータ $\alpha$ をもつ曲線族 $C_\alpha$ があるとき、これらの曲線すべてに接し、その全ての点が接点となっているような曲線 $E$ を、$C_\alpha$ の**包絡線（envelope）**と呼ぶ。
例：
曲線族：
C_\alpha : (x - \alpha)^2 + y^2 = 1 \quad (\alpha \in \mathbb{R})
これは中心が $(\alpha, 0)$、半径1の円の族。これらすべてに接する包絡線は：
y = \pm 1
（＝すべての円の上端・下端をなめる直線）
包絡線の求め方：基本手順
曲線族：
C_\alpha : F(x, y, \alpha) = 0
が与えられているとき、包絡線の方程式 $E(x, y) = 0$ は、次の2つを連立してパラメータ $\alpha$ を消去することで得られる：
\begin{cases}
F(x, y, \alpha) = 0 \\
\frac{\partial F}{\partial \alpha}(x, y, \alpha) = 0
\end{cases}
包絡線の性質（証明のスケッチ）
ある曲線族 $F(x, y, \alpha) = 0$ があり、包絡線 $E(x, y)$ が接点 $(x(\alpha), y(\alpha))$ をなめると仮定する。
- この接点は $F(x(\alpha), y(\alpha), \alpha) = 0$ を満たす
- また、接点として**$\alpha$ に関する微分でも接している**ので：
\frac{d}{d\alpha} F(x(\alpha), y(\alpha), \alpha) = 0
- 連鎖律より：
\frac{\partial F}{\partial x} \frac{dx}{d\alpha} + \frac{\partial F}{\partial y} \frac{dy}{d\alpha} + \frac{\partial F}{\partial \alpha} = 0
つまり、これが接点であるためには $\partial F/\partial \alpha = 0$ が必要になる（とくに $x(\alpha), y(\alpha)$ が滑らかなとき）。
例題1：楕円族の包絡線
曲線族：
F(x, y, \alpha) = \frac{x^2}{\alpha} + \frac{y^2}{1 - \alpha} - 1 = 0 \quad (0 < \alpha < 1)
これは $\alpha$ によって変形する楕円族。包絡線を求めよ。
Step 1: 偏微分を取る
\frac{\partial F}{\partial \alpha}
= -\frac{x^2}{\alpha^2} + \frac{y^2}{(1 - \alpha)^2}
連立：
\begin{cases}
\frac{x^2}{\alpha} + \frac{y^2}{1 - \alpha} = 1 \\
-\frac{x^2}{\alpha^2} + \frac{y^2}{(1 - \alpha)^2} = 0
\end{cases}
Step 2: 式変形
第2式より：
\frac{x}{\alpha} = \pm \frac{y}{1 - \alpha}
\Rightarrow
\alpha = \frac{x}{x \pm y}
これを第1式に代入：
\frac{x^2}{\alpha} + \frac{y^2}{1 - \alpha}
= \frac{x^2(x \pm y)}{x} + \frac{y^2(x \pm y)}{y}
= (x \pm y)^2 = 1
よって：
(x \pm y)^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x \pm y = \pm 1
答え（包絡線の方程式）：
x + y = \pm 1,\quad x - y = \pm 1
すなわち、直線4本の集合が包絡線。
バーゼル問題（Basel Problem）
問題の定式化
以下の無限級数の厳密な値を求めよ：
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}
これは 調和級数の2乗の逆数の総和であり、絶対収束することは容易に示せるが、その和の具体的な値が問題の核心である。
結論（解答）
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}
歴史的背景
- 提出者：ヤコブ・ベルヌーイ（17世紀末）
- 解決者：レオンハルト・オイラー（Leonhard Euler）（1734年）
- 地名「バーゼル」は、ベルヌーイ家とオイラーが属したスイスの都市に由来
当時は級数の具体的な和を求めることが非常に困難であり、$\pi$ が現れることに数学者たちは驚愕した。
解法スケッチ（オイラーの方法）
オイラーは、以下のような形式的手法を用いてこの値を導いた：
1. $\sin x$ の無限積表示
\frac{\sin x}{x} = \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{x^2}{n^2 \pi^2}\right)
→ $\sin x$ の零点が $x = n\pi$ にあることを利用した「無限積表示」。
2. 多項式の係数比較
左辺のテイラー展開：
\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} - \cdots
右辺の展開（形式的に）：
1 - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^2}{n^2\pi^2} + \cdots
係数比較より：
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}
一般化：ゼータ関数との関係
オイラーの結果は、後にリーマンゼータ関数の特別値として一般化される：
\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}
特に：
\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}, \quad \zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}, \quad \zeta(6) = \frac{\pi^6}{945}
PCR検査の「精度が70%」とベイズとは？
この「70%」が意味するものには、主に2つの可能性があります：
1. 感度（Sensitivity） = 70%
-
真の感染者を正しく陽性と判定できる確率
-
数式で：
\text{感度} = P(\text{陽性} \mid \text{感染者}) = 0.70
2. 陽性的中率（PPV） = 70%
-
検査で陽性になった人のうち、本当に感染している人の割合
-
数式で：
\text{陽性的中率} = P(\text{感染者} \mid \text{陽性}) = 0.70
例：感度＝70%のPCR検査
前提（仮定）：
| パラメータ | 値 |
|---|---|
| 感度（陽性率） | 70% |
| 特異度（陰性率） | 98% |
| 感染率（有病率） | 1% |
ベイズの定理による計算
PCR検査で陽性と判定されたとき、実際に感染している確率（陽性的中率）は：
P(\text{感染} \mid \text{陽性}) = \frac{P(\text{陽性} \mid \text{感染}) \cdot P(\text{感染})}{P(\text{陽性})}
分母：全体の陽性確率
P(\text{陽性}) = P(\text{陽性} \mid \text{感染}) \cdot P(\text{感染}) + P(\text{陽性} \mid \text{非感染}) \cdot P(\text{非感染})
数値代入：
- 感度 = 0.7
- 特異度 = 0.98 ⇒ 偽陽性率 = 0.02
- 感染率 = 0.01
P(\text{陽性}) = 0.7 \cdot 0.01 + 0.02 \cdot 0.99 = 0.007 + 0.0198 = 0.0268
P(\text{感染} \mid \text{陽性}) = \frac{0.7 \cdot 0.01}{0.0268} ≈ 0.2612
結論
- 検査精度が「感度70%」であっても、陽性だからといって「感染している確率」は約26%程度しかない（有病率1%の場合）
- 感染率が低い集団では、偽陽性の影響が大きい
- これが**「陽性＝感染とは限らない」**理由であり、複数回検査や抗原検査との併用が勧められる背景
減衰曲線の解：分類表
| 分類 | 微分方程式 | 解の一般形 | 特徴・振る舞い |
|---|---|---|---|
|
1. 指数減衰 (Exponential Damping) |
$\frac{dy}{dt} = -ky$ | $y(t) = A e^{-kt}$ | 単純な指数関数的減衰。 抵抗・温度・放射能の減衰など。 |
|
2. 調和減衰 (Damped Oscillation) |
$\frac{d^2x}{dt^2} + 2\beta \frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = 0$ | → 以下の3分類へ | ばね振動系・RLC回路など。振動＋減衰。 |
✅ 調和減衰の3類型（減衰振動の代表解）
(1) 過減衰（Overdamped）
$$
\beta^2 > \omega_0^2
$$
$$
x(t) = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t} \quad (r_1, r_2 < 0)
$$
- 解：実数解 × 2
- 振動せず、ゆっくりゼロへ収束。
- 制動が強すぎる系（ブレーキ強め）。
(2) 臨界減衰（Critically Damped）
$$
\beta^2 = \omega_0^2
$$
$$
x(t) = (C_1 + C_2 t)e^{-\beta t}
$$
- 解：重解
- 最速でゼロへ収束、振動なし。
- 自動ドア・加速度制御で理想。
(3) 欠減衰（Underdamped）
$$
\beta^2 < \omega_0^2
$$
$$
x(t) = A e^{-\beta t} \cos(\omega_d t + \phi) \
\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}
$$
- 解：指数減衰 × 振動
- 実際のばね振動・音波・電気振動など。
- 位相 $\phi$ を含む波形。
✅ 応用先別の減衰モデル
| 分野 | 減衰曲線の形式 | 具体例 |
|---|---|---|
| 放射性崩壊 | $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ | 半減期での崩壊 |
| RC回路 | $V(t) = V_0 e^{-t/RC}$ | 電圧降下の遷移応答 |
| RLC回路 | 上記の 2階微分方程式 | 過渡応答と振動電流 |
| 機械振動 | 調和減衰解（3類型） | ばね＋ダンパー付き振子 |
| 音響減衰 | $p(t) = A e^{-\alpha t} \cos(\omega t)$ | 音の消失（残響） |
グラフ形状のまとめ（概念）
| 曲線形状 | 対応する式 | 特徴 |
|---|---|---|
| 単純な指数曲線 | $y = A e^{-kt}$ | 単調にゼロへ |
| 指数×コサイン | $A e^{-kt} \cos(\omega t)$ | 減衰しながら振動 |
| 複数指数の和 | $Ae^{-r_1 t} + Be^{-r_2 t}$ | 早い・遅い減衰の合成 |
| 臨界 | $(A + Bt)e^{-kt}$ | 遅延なしで最速収束 |
1. ヘビサイド展開（Heaviside Expansion）
● 定義：有理式の部分分数分解
伝達関数やラプラス変換された関数を、既約1次または2次式に分解して扱いやすくする技法。
例：
$$
\frac{1}{(s+1)(s+2)} = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{s+2}
$$
両辺を通分し、係数比較で定数 $A, B$ を求める。
● 用途：
- ラプラス変換の逆変換で、時間領域へ戻すときに利用。
- システム応答（インパルス・ステップ）を解析可能にする。
- 線形常微分方程式の解の形式を明示化する。
2. 片対数グラフ（Semi-log Graph）
● 定義：横軸 or 縦軸のいずれかを対数目盛にしたグラフ
-
横軸：logスケール, 縦軸：リニア → 多くの工学系プロットで使用
-
指数関数を直線で表現できる
$$
y = A e^{kx} \Rightarrow \log(y) = \log(A) + kx \quad \text{→ 直線}
$$
● 用途：
- 減衰曲線の線形性可視化
- 音の強さ（デシベル）, 放射線の強さ、化学反応速度など
- 指数関数の傾きを視覚化
✅ 3. ボード線図（Bode Diagram）
● 定義：伝達関数の周波数応答（ゲイン・位相）を片対数グラフで描いたもの
- 縦軸（ゲイン）にデシベル[dB]、横軸をlogスケールの周波数 $\omega$
- 位相特性（angle）も同時にプロット
● ゲインプロット（Gain）：
$$
20 \log_{10} |H(j\omega)| \quad [\text{dB}]
$$
● 位相プロット（Phase）：
$$
\angle H(j\omega) \quad [\text{deg}]
$$
● 使用目的：
- 周波数フィルタ（ローパス／ハイパス／バンドパスなど）の設計
- 安定性解析（ゲイン余裕・位相余裕）
- 電気回路／制御理論／信号処理の基礎
接続：3者の関係図解
微分方程式（時系列）
↓ ラプラス変換
→ ヘビサイド展開で分解
→ 伝達関数 H(s)
↓ s = jω に代入
→ 周波数応答 H(jω)
↓ logスケールで描画
→ Bode線図（片対数）
例題（典型）
ラプラス変換された伝達関数：
$$
H(s) = \frac{10}{s(s+1)}
$$
-
ヘビサイド展開：
$$
\frac{10}{s(s+1)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+1}
\Rightarrow A = 10, B = -10
$$ -
時間領域の解：
$$
h(t) = 10 - 10e^{-t}
$$ -
Bodeゲイン：
$$
|H(j\omega)| = \frac{10}{\omega \sqrt{\omega^2 + 1}} \Rightarrow \text{dB表示へ}
$$