第1章 音響学：各節ごとの代表的な式一覧
1.1 純音（Sine Wave）
y(t) = A × sin(2πft)
-
A：振幅（Amplitude）→ 音の大きさ -
f：周波数（Frequency）→ 音の高さ -
t：時間（Time）
➡ 単一周波数の正弦波。純粋な音色（例：音叉）
1.2 複合音（Complex Tone）
y(t) = ∑ Aₙ × sin(2πfₙt + φₙ)
-
Aₙ：各成分の振幅 -
fₙ：各成分の周波数（基本波 + 倍音） -
φₙ：初期位相
➡ 複数の周波数成分の合成。音色の違いに影響
1.3 音の三要素（Three Elements of Sound）
-
音の高さ（Pitch）：周波数
f（Hz） -
音の大きさ（Loudness）：振幅
A、または音圧レベルL - 音色（Timbre）：波形の形＝倍音構成＝フーリエ成分
➡ 正式な式ではなく、各要素を物理的に分けて理解
🎵 音の三要素の数式定義
① 音の高さ（Pitch）
音の高さは周波数 $f$ [Hz] により定義されます：
y(t) = A * sin(2πft + φ)
- $f$：周波数 [Hz]
- $t$：時間 [s]
- $A$：振幅（音の大きさに関与）
- $φ$：初期位相
高い音 ⇒ 周波数 $f$ が大きい
低い音 ⇒ 周波数 $f$ が小さい
② 音の大きさ（Loudness）
音の大きさは振幅 $A$ または**音圧レベル（デシベル）**で表されます：
L = 20 * log₁₀(p / p₀)
- $L$：音圧レベル [dB]
- $p$：音の実効音圧 [Pa]
- $p₀$：基準音圧（通常 $20 \mu Pa$）
③ 音色（Timbre）
音色は**波形の形・倍音構成（フーリエ級数）**で定義されます：
y(t) = a₁ * sin(2πf t) + a₂ * sin(2π(2f)t) + a₃ * sin(2π(3f)t) + ...
- $aₙ$：n次倍音の振幅
- $f$：基本周波数
- 各倍音の構成が異なると、同じ高さ・大きさでも異なる音色に聞こえる
1.4 音の大きさ（Sound Level）
L = 20 × log₁₀(p / p₀) [dB]
-
L：音圧レベル（デシベル） -
p：実際の音圧 -
p₀：基準音圧（通常は 2×10⁻⁵ Pa）
➡ 音の大きさは対数的に知覚される
1.5 音の高さ（Pitch and MIDI）
f = 440 × 2^((n - 69) / 12)
-
f：周波数（Hz） -
n：MIDIノート番号（A4 = 69）
➡ 音階・MIDIとの関係を示す式。12平均律に基づく
1.6 音色（Timbre = 周波数スペクトル）
X(f) = ∫ x(t) × e^(–j2πft) dt
-
X(f)：周波数成分（フーリエ変換） -
x(t)：時間領域の音 -
f：周波数
➡ 音色は波形の周波数構造＝倍音構成で決まる
第2章 サウンドプログラミング：数式と理論一覧
2.1 サンプリング（Sampling）
ナイキストの定理（Nyquist Theorem）
f_s ≥ 2 × f_max
-
f_s：サンプリング周波数（Hz） -
f_max：記録したい音の最大周波数（Hz）
➡ この条件を満たさないと**エイリアシング（折り返し）**が発生する
2.2 標本化（Discretization）
連続波形 x(t) を標本化して x[n] に：
x[n] = x(nT)
-
T = 1 / f_s：サンプリング周期 -
x[n]：離散信号（nサンプル目）
➡ 時間を等間隔に分けて記録する操作
2.3 量子化（Quantization）
連続値を有限ビットで表す操作：
Q(x) = Δ × round(x / Δ)
-
Δ：量子化ステップ幅（例：16bitなら Δ ≈ 最大振幅 / 65536） -
Q(x)：量子化された信号値
➡ 記録には誤差（量子化誤差）が生じる
2.4 WAVEファイル（PCMフォーマット構造）
WAVEファイルの典型的な構造：
[RIFFヘッダ] → [fmtチャンク] → [dataチャンク]
- データ部はPCM（Pulse Code Modulation）：
x[n] ∈ {−32768, ..., +32767}（16bit PCM の場合）
➡ サンプリング・量子化された整数列が格納される
2.5 サウンドプログラミング（Digital Sound Synthesis）
例：サイン波合成（Python等で使用）
x[n] = A × sin(2πf n / f_s)
-
n：サンプル番号 -
f_s：サンプリング周波数 -
f：再生したい周波数 -
A：振幅
➡ 離散時間での波形生成が可能になる
第3章 コンピュータミュージック
3.1 五線譜（Staff Notation）
五線譜の音高とMIDI番号の対応式：
f = 440 × 2^((n - 69)/12)
-
n：MIDIノート番号（A4 = 69） -
f：音の周波数（Hz）
➡ 楽譜の高さ＝周波数は指数関数的な関係
3.2 音階（Scale）
12平均律（Equal Temperament）における音階：
f_n = f₀ × 2^(n/12)
-
f₀：基準音（例：C4） -
n：半音数（相対的な位置）
➡ 隣接する音の比は 2^(1/12) ≈ 1.0595
3.3 音符（Note Duration）
音符の長さ（拍数に対する時間）：
t = (4 / d) × (60 / bpm)
-
d：音符の分母（例：4分音符→4、8分音符→8） -
bpm：テンポ（拍数／分）
➡ 音符ごとの**演奏時間（秒）**が求まる
3.4 強弱（Dynamics）
MIDIベロシティの範囲：
Velocity ∈ [1, 127]
-
1：極めて弱い -
127：最大強度
➡ 実際には0（ノートオフ）を含む128段階の音量制御
3.5 拍子（Time Signature）
1小節の拍数と単位音符：
[分子]：1小節に含まれる拍数
[分母]：1拍あたりの音価（例：4＝4分音符、8＝8分音符）
➡ 例：4/4 は「4拍／1小節、1拍＝4分音符」
3.6 テンポ（Tempo）
1拍の長さ（秒）を求める式：
1拍の長さ = 60 / bpm
-
bpm：テンポ（beats per minute）
➡ MIDIタイミング制御やループ生成に使われる
3.7 音楽の三要素（要素間の非数式的関係）
- リズム（時間構造）→ 拍子・テンポ
- メロディ（音高の連なり）→ 音階・旋律
- ハーモニー（和音）→ 音程関係・和声進行
➡ 数式ではなく、時間軸・周波数軸の構造的捉え方
3.8 コンピュータミュージック
MIDIイベント（ノート情報）構造：
Event = [tick, note_on/off, note_number, velocity]
-
tick：時間位置（単位：クロック） -
note_number：音高 -
velocity：強さ
➡ イベント列が曲を構成する
3.9 自動演奏（Algorithmic Playback）
時間制御：
実時間 = tick × (tempo / resolution)
-
tempo：μs/四分音符 -
resolution：PPQN（Pulse Per Quarter Note）
➡ MIDI演奏における再生タイミング計算に使用
第4章 MIDI
「第4章 MIDI」に対応する各項目の代表的な式・構造・概念モデルを示します。MIDI信号の仕組み、数値構造、タイミング制御に関する内容を中心に、音楽プログラミングやDTMへの応用にも活用できるよう設計されています。
4.1 MIDI（基本構造）
MIDIメッセージ基本フォーマット（3バイト構造）：
[ステータスバイト] [データバイト1] [データバイト2]
例（ノートオン）：
[1001nnnn] [0kkkkkkk] [0vvvvvvv]
-
nnnn：チャンネル（0〜15） -
kkkkkkk：ノート番号（0〜127） -
vvvvvvv：ベロシティ（0〜127）
4.2 ノートオンとノートオフ
ノートオンとオフの時系列制御：
Note On: [0x90 + ch] [note_num] [velocity]
Note Off: [0x80 + ch] [note_num] [0]
-
ch：チャンネル番号 -
note_num：MIDIノート番号 -
velocity：0～127（0 = ノートオフとしても解釈可能）
4.3 ノートナンバー（音高と周波数）
f = 440 × 2^((n - 69)/12)
-
n：MIDIノート番号（A4 = 69） -
f：周波数（Hz）
➡ MIDIノートと音の周波数の指数関数的対応
4.4 ベロシティ（音の強さ）
velocity ∈ [1, 127]
-
0：ノートオフ（または無音） -
1〜127：弱〜強
➡ 演奏の強弱、発音のアタック、フィルタ開度などに利用
4.5 プログラムチェンジ（音色切り替え）
構文：
[0xC0 + ch] [program_number]
-
program_number∈ [0, 127]（GM音源の128種類）
例：0 = Acoustic Grand Piano, 25 = Nylon Guitar
4.6 プログラムナンバー（GM音色一覧）
例：
| プログラムナンバー | 音色名 |
|---|---|
| 0 | Grand Piano |
| 24 | Nylon Guitar |
| 40 | Violin |
| 73 | Flute |
➡ GM（General MIDI）音源の標準番号規格に準拠
4.7 パーカッションマップ（チャンネル10専用）
例（MIDIノート番号 → 打楽器）：
| ノート番号 | 打楽器 |
|---|---|
| 35 | Acoustic Bass Drum |
| 38 | Acoustic Snare |
| 42 | Closed Hi-Hat |
| 46 | Open Hi-Hat |
| 49 | Crash Cymbal |
➡ チャンネル10は打楽器専用としてマッピングされる
4.8 MIDIファイル（SMF: Standard MIDI File）
基本構造：
[MThd] → ヘッダチャンク
[MTrk] → トラックチャンク（イベント列）
イベント例：
[デルタタイム] [ステータス] [データ1] [データ2]
➡ 時系列でノートイベントを記録するシーケンス構造
4.9 DTM（デスクトップミュージック）
MIDI + 音源 + DAW = DTM環境
➡ 明確な式ではなく、「MIDI信号の流れ＋再生エンジン」という構成モデル
4.10 自動演奏（再生タイミングの計算）
タイミング式（MIDIクロック）：
実時間 = tick × (tempo / resolution)
-
tick：イベントのデルタタイム -
tempo：1拍の長さ（μ秒／四分音符） -
resolution：分解能（PPQN）
➡ 精密な自動演奏にはこの式で「秒数換算」が必要
第5章 ディジタル信号処理
5.1 周波数分析（Fourier Analysis）
連続時間フーリエ変換（CTFT）：
X(f) = ∫ x(t) × e^(–j2πft) dt
離散時間フーリエ変換（DTFT）：
X(ω) = ∑ x[n] × e^(–jωn)
➡ 音信号の周波数成分（＝倍音、音色）を求める
5.2 スペクトログラム（Spectrogram）
時間ごとの短時間フーリエ変換（STFT）：
STFT{x[n]} = ∑ x[m] × w[n–m] × e^(–j2πkn/N)
-
w[n]：窓関数（ハミング、ハン等） -
N：FFT点数 -
k：周波数ビン番号
➡ 時間 vs 周波数の2次元可視化（Pythonでlibrosaなどが使用可能）
5.3 楽器音の周波数分析
周期波形のフーリエ級数展開：
x(t) = ∑ Aₙ × sin(2πnf₀t + φₙ)
-
f₀：基本周波数 -
n：倍音番号 -
Aₙ：振幅 -
φₙ：位相
➡ 倍音構造を解析することで、音色（楽器の違い）を理解できる
5.4 フィルタ（Filter）
離散時間フィルタの一般式（差分方程式）：
y[n] = ∑ (b_k × x[n–k]) – ∑ (a_k × y[n–k])
-
b_k：インパルス応答（フィルタ係数） -
a_k：フィードバック係数（IIR型の場合） -
x[n]：入力信号 -
y[n]：出力信号
FIR（有限インパルス応答）フィルタの例：
y[n] = (1/3) × (x[n] + x[n–1] + x[n–2])
➡ 簡易ローパス（移動平均）としてノイズ除去や音質調整に使える
第6章 シンセサイザ：数式とモデル一覧
6.1 音響合成のアプローチ（Synthesis Overview）
合成の基本分類：
- 加算合成（Additive）：波を「足す」
- 減算合成（Subtractive）：波から「引く／削る」
- FM合成（Frequency Modulation）：周波数を変調する
- 物理モデル合成：現象の物理法則を模倣する（例：弦、管）
① 加算合成（Additive Synthesis）
複数の正弦波を重ね合わせて音を作る手法：
y(t) = a₁ * sin(2πf₁t) + a₂ * sin(2πf₂t) + ... + aₙ * sin(2πfₙt)
- $a_i$：各成分の振幅
- $f_i$：各成分の周波数
- 倍音列（基本周波数とその整数倍）を足すことで音色を作る
② 減算合成（Subtractive Synthesis）
倍音を多く含む波形（ノコギリ波、矩形波など）を出発点にして、フィルターで削る：
y(t) = Filter[RichWave(t)]
例：ノコギリ波（Sawtooth）
RichWave(t) = ∑_{n=1}^N (1/n) * sin(2πnft)
ローパスフィルタ（例：一次RCフィルタ）
H(ω) = 1 / sqrt(1 + (ωRC)^2)
③ FM合成（Frequency Modulation）
キャリア波の周波数を変調波で揺らす：
y(t) = A * sin(2πf_ct + I * sin(2πf_mt))
- $f_c$：キャリア周波数
- $f_m$：変調周波数
- $I$：変調指数（モジュレーションの深さ）
④ 物理モデル合成（Physical Modeling）
例：カープラス・ストロング法（Karplus-Strong）
y[n] = 0.5 * (y[n - N] + y[n - (N + 1)])
- $N$：ディレイ長（弦の長さに相当）
- 初期波形にランダムノイズを使うことで、撥弦楽器の音を模倣できる
6.2 アナログシンセサイザ（Analog Synth）
基本波形（理想オシレータ）：
- 正弦波：
y(t) = A × sin(2πft) - 鋸波（ノコギリ波）：周期的直線増加→折返し
- 矩形波（Square）：
sgn(sin(2πft)) - 三角波（Triangle）：絶対値波形を階段状に加工
➡ アナログ合成は電圧変調でこれらを操作
6.3 オシレータ（Oscillator）
離散時間での波形生成：
x[n] = A × sin(2πfn / f_s)
-
f_s：サンプリング周波数 -
f：発音周波数 -
n：サンプル番号
➡ PythonやDAWで波形を直接合成可能
6.4 時間エンベロープ（Envelope）
ADSR（Attack, Decay, Sustain, Release）モデル：
E(t) = piecewise envelope of amplitude over time
- Attack：立ち上がり
- Decay：一時減衰
- Sustain：一定音量
- Release：放出
➡ 音の時間的な強度変化（実在楽器の特徴）
6.5 加算合成（Additive Synthesis）
複数の正弦波を足し合わせる：
y(t) = ∑ Aₙ × sin(2πfₙt + φₙ)
- 各
fₙ：倍音（n × 基本周波数） -
Aₙ：強さ、φₙ：位相
➡ 音色を「倍音構成」として自由に設計可能
6.6 減算合成（Subtractive Synthesis）
豊かな波形（鋸波など）から周波数成分を削る：
y(t) = Filter(x(t))
-
x(t)：元の波形（倍音を多く含む） -
Filter：ローパス、バンドパスなど
➡ 音色を「ろ過」することで変える
6.7 FM合成（Frequency Modulation）
周波数を別の波で変調する：
y(t) = A × sin(2πf_ct + I × sin(2πf_mt))
-
f_c：キャリア周波数（基本音） -
f_m：モジュレーター（変調周波数） -
I：変調指数（倍音の豊かさ）
➡ 鉄琴・ベル・金属的音色に最適（YAMAHA DX7等）
6.8 カープラス・ストロング合成（Karplus-Strong）
物理モデル的な離散時間シンセ：
y[n] = 0.5 × (x[n] + x[n–1])
- 初期波形
x[n]：ノイズ or パルス列 - フィードバックして減衰と周期を形成
➡ 弦のような音響特性を簡単に模倣可能（ギター風）
6.9 音のリアリティ（Sound Realism）
複合モデル：
y(t) = Envelope(t) × [Additive + Filtered + FM + Reverb]
➡ 合成方式を組み合わせ、空間性（残響）・時間変化（エンベロープ）を加えることでリアリティを追求
第7章 エフェクタ：数式とモデル一覧
7.1 リバーブ（Reverb = 残響）
インパルス応答による畳み込み：
y[n] = ∑ h[k] × x[n - k]
-
x[n]：入力信号 -
h[k]：インパルス応答（IR） -
y[n]：出力信号（残響付き）
➡ 実際の空間で録音されたIRを使うとリアルな残響になる（Convolution Reverb）
7.2 ディストーション（Distortion = 歪み）
非線形波形クリッピング：
y[n] = tanh(G × x[n])
-
G：ゲイン（増幅率） -
tanh：非線形関数（クリッピング代用）
➡ アナログアンプの飽和・真空管の歪みを模倣（sign(x) や clip(x, –1, 1) でも近似）
7.3 コンプレッサ（Compressor）
動的レンジ制御：
y[n] = x[n] × G(t)
ゲイン関数（例：ソフトニー）
G(dB) =
{ 1 （入力 < 閾値）
{ (1 / R) × (x – T) （入力 ≥ 閾値）
-
T：スレッショルド（しきい値） -
R：レシオ（圧縮比）
➡ 音量が一定値を超えると自動で抑える（例：声の飛び出し防止）
7.4 イコライザ（EQ）
周波数帯域ごとのゲイン調整（IIRフィルタ）：
y[n] = ∑ b_k x[n–k] – ∑ a_k y[n–k]
- ローパス、ハイパス、バンドパスなどのフィルタ係数を設計
➡ 指定した周波数成分を強調・抑制できる（3バンドEQ、パラメトリックEQなど）
7.5 モジュレーション（Modulation Effects）
① トレモロ（音量変調）
y[n] = (1 + m × sin(2πf_m n / f_s)) × x[n]
-
m：変調深度（0〜1） -
f_m：変調周波数
② ビブラート（周波数変調）
y[n] = sin(2πf n / f_s + d × sin(2πf_m n / f_s))
-
d：周波数変調の深さ（ディチューン幅）
➡ コーラス、フランジャーなどの基礎となる
7.6 デチューン（Detune）
わずかに異なる周波数の波を重ねる：
y(t) = sin(2πf₁t) + sin(2πf₂t)
-
f₁ ≈ f₂（微小な差）
➡ うなり（ビート）を生み、音を太く・広がりのあるものにする
🎛 第8章 ミキシング（Mixing）：式・モデル一覧
8.1 モノラル再生とステレオ再生
モノラル信号（1ch）：
y[n] = x[n]
ステレオ信号（2ch）：
L[n], R[n] = x[n] × (1 ± p)
-
p：パン（定位）パラメータ（例：–1〜+1）
➡ ステレオ定位はパンニング制御で表現される
8.2 音像定位（Panning）
等電力パンニング（Equal-power panning）：
L = cos(θ), R = sin(θ)
-
θ ∈ [0, π/2]：パン角（定位の左右）
➡ 左右の出力エネルギーを均等に保ちながら定位調整する
8.3 ミキシング（重ね合わせ）
多トラック音の加算：
y[n] = x₁[n] + x₂[n] + ... + xₖ[n]
➡ 各チャンネルは音量調整（ゲイン）してから合成される
8.4 音楽制作（マスタリング前の調整）
- 正確な式よりもパン＋フェーダー＋エフェクト処理の連携
- マスタリング：ピーク制限、コンプ、EQ補正（→前章参照）
8.5 ボーカルキャンセル（センターキャンセル）
LとRの差分：
y[n] = L[n] – R[n]
➡ 中央定位（= 同位相）の成分がキャンセルされ、ボーカル除去が可能
🥁 第9章 打楽器の音をつくる：合成モデル・式一覧
9.1〜9.2 グロッケン・トライアングルなど
金属系打楽器のモード合成：
y(t) = ∑ Aₖ × sin(2πfₖt) × e^(–αₖt)
-
fₖ：非整数倍の共振周波数（非調和） -
αₖ：減衰率（音の消え方）
➡ グロッケン、トライアングル、チューブラーベルに使用
9.4〜9.6 マリンバ、シロフォン、ティンパニ
木・膜系：準整数倍の振動
fₖ ≈ k² × f₁（k = 1, 3, 5...）
➡ 板の形状による特定のモード合成が使われる
9.7 シンバル（非周期音）
ノイズベース＋ランダム共振：
y(t) = noise(t) × ∑ sin(2πfₖt) × e^(–αₖt)
➡ 離散モードではなく連続スペクトルに近い
9.9〜9.12 バスドラム・タム・スネア等
Karplus-Strong法／鼓膜モデル：
y[n] = (x[n] + x[n–1]) / 2
または：
y[n] = comb-filter(x[n]) × ADSR
➡ 打面の反射・ノイズ・共鳴体の混合
第10章