✅ 1. 近似式の理論背景：テイラー展開
よく使われる近似式：
(1) $(1 + x)(1 + y) \approx 1 + x + y$
これは「積の1次近似」です。テイラー展開で高次項（$xy$）を無視しています：
$$
(1 + x)(1 + y) = 1 + x + y + xy \approx 1 + x + y \quad \text{（誤差項：} xy \text{）}
$$
条件：$|x|, |y| \ll 1$
(2) $\frac{1}{1 + x} \approx 1 - x$
これは $(1 + x)^{-1}$ の1次テイラー展開：
$$
\frac{1}{1 + x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots \quad \text{（for } |x| < 1\text{）}
$$
誤差：$\sim x^2$
(3) $\frac{1}{1 - x} \approx 1 + x$
同様に：
$$
\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots \quad \text{（for } |x| < 1\text{）}
$$
✅ 2. 誤差評価：x = 0.05 のとき
| 近似式 | 実際の値 | 近似値 | 誤差（絶対値） |
|---|---|---|---|
| $1/(1+x)$ | $1/1.05 = 0.95238$ | $1 - 0.05 = 0.95$ | $0.00238$ |
| $1/(1-x)$ | $1/0.95 = 1.05263$ | $1 + 0.05 = 1.05$ | $0.00263$ |
✅ 問題
$$
\frac{9.8}{9.8596}
$$
この形は、以下のように 分母の摂動（小さな変化） として扱えます：
$$
\frac{9.8}{9.8 + \Delta a}
= \frac{1}{1 + \frac{\Delta a}{9.8}} \cdot 9.8
$$
ここで：
- $\Delta a = 9.8596 - 9.8 = 0.0596$
- よって、$\varepsilon = \dfrac{\Delta a}{9.8} = \dfrac{0.0596}{9.8} \approx 0.00608$
✅ テイラー展開による近似
$$
\frac{1}{1 + \varepsilon} = 1 - \varepsilon + \varepsilon^2 - \varepsilon^3 + \cdots
$$
したがって、
$$
\frac{9.8}{9.8 + 0.0596} \approx 9.8 \cdot (1 - \varepsilon + \varepsilon^2)
= 9.8 \left( 1 - 0.00608 + 0.00608^2 \right)
$$
計算：
- $0.00608^2 \approx 3.70 \times 10^{-5}$
- $1 - 0.00608 + 0.000037 \approx 0.993957$
- $9.8 \times 0.993957 \approx 9.74077$
✅ 正確値と比較
- 厳密値：
$$
\frac{9.8}{9.8596} \approx 0.993968
$$
- テイラー2次近似：
$$
\approx 0.993957 \quad (\text{誤差 } \approx 1.1 \times 10^{-5})
$$
✅ 問題
$$
\frac{9.8596}{9.8}
$$
これは以下のように変形できます：
$$
\frac{9.8596}{9.8} = 1 + \frac{a}{9.8}, \quad \text{ただし } a = 9.8596 - 9.8 = 0.0596
$$
したがって：
$$
\frac{9.8596}{9.8} = \frac{1}{1 - \varepsilon}, \quad \text{ここで } \varepsilon = \frac{-a}{9.8596} \approx -0.006043
$$
✅ テイラー展開（近似式）
よく知られた式：
$$
\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots \quad (|x| < 1)
$$
$$
\Rightarrow \frac{9.8596}{9.8} = \frac{1}{1 - (-\varepsilon)} \approx 1 + \varepsilon + \varepsilon^2 + \cdots
$$
ここで：
$$
\varepsilon = \frac{9.8596 - 9.8}{9.8} = \frac{0.0596}{9.8} \approx 0.00608
$$
✅ 計算
$$
1 + 0.00608 + (0.00608)^2 \approx 1 + 0.00608 + 0.000037 \approx 1.006117
$$
✅ 正確な値と比較
$$
\frac{9.8596}{9.8} \approx 1.00608
$$
誤差：約 $3.7 \times 10^{-5}$
→ 非常に高精度な近似が得られている
🔷 一般式（密度）：
$$
\rho = \frac{M / N_A}{a^3}
$$
- $\rho$：密度（g/cm³）
- $M$：モル質量（g/mol）
- $N_A$：アボガドロ数（$6.02 \times 10^{23}$ mol⁻¹）
- $a$：単位格子1辺の長さ（cm）
🔷 今回の数値代入：
$$
\rho = \frac{233 / (6.0 \times 10^{23})}{(3.8 \times 10^{-8})^3} \approx 7.1 \ \mathrm{g/cm^3}
$$
🔷 テイラー展開による近似応用例
① 分母のべき乗部分：
$$
(3.8 \times 10^{-8})^3 = (a)^3 \quad \text{に対して} \quad \frac{1}{a^3} = a^{-3}
$$
この逆数はテイラー展開により微小変化 $\delta a$ に対して：
$$
\frac{1}{(a + \delta a)^3} \approx \frac{1}{a^3} \left(1 - \frac{3\delta a}{a} + \frac{6(\delta a)^2}{a^2} - \cdots \right)
$$
応用：格子定数 $a$ が微小変化したときの密度変化の評価に使える。
② アボガドロ数やモル質量が微小変化したとき
たとえば、モル質量 $M$ が微小変化 $\delta M$ を受けた場合：
$$
\rho(M + \delta M) \approx \rho(M) \left(1 + \frac{\delta M}{M} \right)
$$
これは、
$$
f(M) = \frac{M}{N_A a^3} \quad \Rightarrow \quad f(M + \delta M) \approx f(M) + f'(M)\delta M
$$
🔷 まとめ：線形近似が使えるパターン
| 微小変化対象 | 対応する近似式 | 応用効果 |
|---|---|---|
| 格子定数 $a$ | $\frac{1}{a^3} \approx \frac{1}{a_0^3}(1 - 3\frac{\delta a}{a_0})$ | 温度や圧力による格子変化への感度 |
| モル質量 $M$ | $\rho \approx \rho_0(1 + \frac{\delta M}{M})$ | 同位体や不純物の影響評価 |
| アボガドロ数 | 定数として固定 | 基本的に変化しない |