1. 二次関数と最適化・AI応用
基礎理解
二次関数は、機械学習における損失関数（2乗誤差）や最適化の基礎になります。
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二次関数の一般形：
$$
y = ax^2 + bx + c
$$ -
頂点・軸・最大・最小：
$$
頂点 \ x = -\frac{b}{2a}
$$$$
最大・最小値 \ y = -\frac{b^2 - 4ac}{4a}
$$ -
平方完成の形：
$$
y = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a}
$$
応用・実装例
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機械学習：最小二乗法（損失関数最小化）
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Python実装：
import numpy as np from sklearn.linear_model import LinearRegression x = np.array([[1], [2], [3]]) y = np.array([2, 4, 6]) model = LinearRegression().fit(x, y) print(model.coef_, model.intercept_)
2. 三平方の定理と三角比
基礎理解
三角形の辺の関係や、角度を計算する三角比は、距離計算や画像解析に応用されます。
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三平方の定理：
$$
a^2 + b^2 = c^2
$$ -
三角比：
$$
\sin\theta = \frac{\text{Opposite}}{\text{Hypotenuse}}, \quad \cos\theta = \frac{\text{Adjacent}}{\text{Hypotenuse}}, \quad \tan\theta = \frac{\text{Opposite}}{\text{Adjacent}}
$$
応用・実装例
- 座標間距離計算
- 画像・信号解析
3. 三角関数とFFT（信号処理）
基礎理解
波形データや周期性を解析する基本技術。
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オイラーの公式：
$$
e^{ix} = \cos x + i \sin x
$$ -
フーリエ変換：
信号を周波数成分に分解 -
FFT（高速フーリエ変換）：計算高速化手法
応用・実装例
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Python実装：
import numpy as np signal = np.array([0, 1, 0, -1]) spectrum = np.fft.fft(signal) print(spectrum)
4. 複素数と三相交流（工学応用）
基礎理解
電気工学・制御工学で重要な概念。
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複素数：
$$
z = a + bi = r e^{i\theta}
$$ -
三相交流：
- 位相差120°
- ベクトル表現
応用・実装例
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Python実装：
import numpy as np z = np.exp(1j * np.pi / 4) print(np.abs(z), np.angle(z))
5. 線形回帰と統計学（AI評価・解析）
基礎理解
回帰分析・モデル評価の基本。
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線形回帰：
$$
y = ax + b
$$ -
評価指標：
- 平均二乗誤差（MSE）
- 決定係数（R²）
- 相関係数
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統計基礎：
- 平均・分散・標準偏差
- 信頼区間・仮説検定
応用・実装例
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Python実装：
import statsmodels.api as sm x = sm.add_constant(np.array([1, 2, 3])) y = np.array([2, 4, 6]) model = sm.OLS(y, x).fit() print(model.summary())
6. 最小情報原理と確率・積分・微分
基礎理解
情報理論・確率モデル・最適化基礎。
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最小情報原理：
- エントロピー
- KLダイバージェンス
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確率分布：
- 正規分布・指数分布
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微分・積分：
- 勾配・累積量・確率密度
応用・実装例
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Python実装：
from scipy.stats import norm import sympy as sp x = sp.Symbol('x') print(sp.diff(x**2, x)) # 微分 print(norm.pdf(0, loc=0, scale=1)) # 標準正規分布
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