✅ 1. 一次遅れ系の伝達関数
$$
H(s) = \frac{1}{\tau s + 1}
$$
ここで：
- $\tau > 0$：時定数（time constant）
✅ 2. ステップ応答：入力 $U(s) = \frac{1}{s}$
出力のラプラス変換：
$$
Y(s) = H(s) U(s) = \frac{1}{s(\tau s + 1)}
$$
✅ 3. 部分分数分解
$$
\frac{1}{s(\tau s + 1)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{\tau s + 1}
$$
両辺に $s(\tau s + 1)$ を掛ける：
$$
1 = A(\tau s + 1) + Bs
$$
係数比較より：
- 定数項：$A = 1$
- $s$ の係数：$A\tau + B = 0 \Rightarrow B = -\tau$
ゆえに：
$$
Y(s) = \frac{1}{s} - \frac{\tau}{\tau s + 1}
$$
✅ 4. 逆ラプラス変換
$$
\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s}\right] = 1, \quad
\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{\tau s + 1}\right] = e^{-t/\tau}
$$
したがって：
$$
y(t) = 1 - e^{-t/\tau}
$$
✅ 5. 留数定理による逆ラプラス変換（応用）
$$
Y(s) = \frac{1}{s(\tau s + 1)}
$$
の逆ラプラス変換は次の閉曲線積分で与えられる：
$$
y(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty} \frac{1}{s(\tau s + 1)} e^{st} ds
$$
この被積分関数には単純極が2つある：
- $s = 0$
- $s = -\frac{1}{\tau}$
各点における留数：
極 $s = 0$ における留数：
$$
\text{Res}{s=0} \left[ \frac{e^{st}}{s(\tau s + 1)} \right] = \lim{s \to 0} \frac{e^{st}}{\tau s + 1} = 1
$$
極 $s = -\frac{1}{\tau}$ における留数：
$$
\text{Res}{s=-\frac{1}{\tau}} \left[ \frac{e^{st}}{s(\tau s + 1)} \right] = \lim{s \to -\frac{1}{\tau}} \frac{e^{st}}{s} \cdot \frac{1}{\tau (s + \frac{1}{\tau})}
= -\tau e^{-t/\tau}
$$
留数の和によって：
$$
y(t) = \text{Res}{s=0} + \text{Res}{s=-\frac{1}{\tau}} = 1 - e^{-t/\tau}
$$
✅ 結論
| 項目 | 結果式 |
|---|---|
| 伝達関数 | $H(s) = \frac{1}{\tau s + 1}$ |
| ステップ応答 | $y(t) = 1 - e^{-t/\tau}$ |
| 留数定理 | 極 $s=0$, $s=-\frac{1}{\tau}$ の和 |
第0章：前提知識（高校〜初等大学数学）
- 0.1 複素数の演算：加減乗除、極形式、オイラーの公式 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$
- 0.2 三角関数・指数関数の復習
- 0.3 多項式・有理式と因数分解
第1章：複素関数の基礎
-
1.1 複素関数とは何か：$f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$
-
1.2 極限と連続性（複素平面上）
-
1.3 コーシー–リーマンの条件：複素微分可能性の必要十分条件
-
1.4 正則関数（holomorphic function）
- $\mathbb{C}$ 上の微分可能性 ⇔ 各点で正則
第2章：複素積分の理論
-
2.1 複素平面の曲線積分：定義と基本的計算
-
2.2 コーシー積分定理：単連結領域での正則性による積分の消滅
-
2.3 コーシー積分公式：
$$
f(a) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{f(z)}{z - a}dz
$$
第3章：特異点とLaurent展開
-
3.1 特異点の分類
- 除去可能特異点、極、本質的特異点
-
3.2 Laurent級数展開
- 正則性と特異性を同時に記述できる形式
$$
f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z - a)^n
$$ -
3.3 留数の定義
- Laurent展開の $a_{-1}$ を「留数（residue）」と定義
第4章：留数定理（Residue Theorem）
-
4.1 定理の主張
$$
\int_\gamma f(z),dz = 2\pi i \sum_{\text{内部の留数}}
$$（$f$ 正則 except isolated singularities inside closed curve $\gamma$）
-
4.2 留数の計算方法
- 単純極：$\operatorname{Res}{z=a} f(z) = \lim{z\to a} (z-a)f(z)$
- 高位極（位数 $n$）：
$$
\operatorname{Res}{z=a} f(z) = \frac{1}{(n-1)!} \lim{z\to a} \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}[(z-a)^n f(z)]
$$
第5章：応用と発展
5.1 実積分への応用
- 正弦・余弦・無限区間積分の評価（Jordanの補題使用）
5.2 逆ラプラス変換への応用（制御工学）
- $F(s)$ の極と留数で応答を求める
- 例：一次遅れ系、二次系の過渡応答
5.3 周期関数とFourier級数（正則性を活かした解析）
5.4 留数と力学系（線形常微分方程式解法）
- 線形系 $\dot{x} = Ax$ の指数解：$e^{At}$ の行列表現の極展開
- システムの安定性と極配置