等加速度直線運動の基本式と応用
ファイル名
uniform_acceleration_motion_20250717.txt
プレーンテキスト入力
v(t) = v₀ + a·t
x(t) = x₀ + v₀·t + (1/2)·a·t²
v² = v₀² + 2a(x − x₀)
WolframAlphaリンク（数値例）
補足と活用ソリューション
この運動は、加速度 ( a ) が一定である直線運動の基本形であり、次のように記述されます：
基本式：
- 速度の式： v(t) = v₀ + a·t
- 位置の式： x(t) = x₀ + v₀·t + (1/2)·a·t²
- 時間を消去した式： v² = v₀² + 2a(x − x₀)
変数の意味：
・v(t)：時刻 t における速度
・x(t)：時刻 t における位置
・v₀：初速度（t = 0 における速度）
・x₀：初期位置（t = 0 における位置）
・a：一定の加速度
・t：経過時間
応用例：
• 自由落下（a = 9.8 m/s²）
• 自動車の加速・停止の距離計算
• ロケットやエレベータの加速度制御設計
• グラフ描画問題（速度-時間・位置-時間）の解析
• 位置センサ・速度センサによる運動推定アルゴリズム
活用分野：
運動学、機械工学、航空宇宙、交通工学、物理教育、ロボティクス、数値シミュレーション
等加速度直線運動（重力加速度・初期条件代入・tプロット）
ファイル名
uniform_acceleration_gravity_plot_20250717.txt
プレーンテキスト入力（重力加速度 g = 9.8 m/s²）
v(t) = v₀ − g·t
x(t) = x₀ + v₀·t − (1/2)·g·t²
v² = v₀² − 2g(x − x₀)
数値例：
- 初速度：v₀ = 10 m/s
- 初期位置：x₀ = 0 m
- 重力加速度：g = 9.8 m/s²
WolframAlpha プロットリンク（t による変化）
補足
この例は、鉛直投げ上げ運動などの重力下の等加速度運動モデルとして使えます。
t に関するプロットを見ることで、速度の直線減少、位置の放物線運動が可視化できます。
単振動の一般解と初期条件
ファイル名
simple_harmonic_motion_20250717.txt
プレーンテキスト入力
x(t) = A·cos(ωt) + B·sin(ωt)
v(t) = −A·ω·sin(ωt) + B·ω·cos(ωt)
a(t) = −A·ω²·cos(ωt) − B·ω²·sin(ωt)
WolframAlphaリンク（数値例）
- x(t) = 3·cos(2t) + 1·sin(2t), t = 1
- v(t) = −3·2·sin(2t) + 1·2·cos(2t), t = 1
- a(t) = −3·4·cos(2t) − 1·4·sin(2t), t = 1
補足と活用ソリューション
この運動は、バネや振り子のように復元力が位置に比例する系で見られる周期的運動です。
一般解（単振動の基本式）
-
x(t) = A·cos(ωt) + B·sin(ωt)
：任意定数A, Bによる解（初期条件で決定） v(t) = dx/dt = −A·ω·sin(ωt) + B·ω·cos(ωt)a(t) = dv/dt = −A·ω²·cos(ωt) − B·ω²·sin(ωt) = −ω²·x(t)
初期条件の役割
- 初期位置：
x(0) = A - 初期速度：
v(0) = B·ω
⇒ よってA = x₀,B = v₀ / ω
（例：x(t) = x₀·cos(ωt) + (v₀/ω)·sin(ωt)）
初期加速度
a(0) = −A·ω² = −x₀·ω²
応用例：
• バネ振動、単振り子の解析
• AC回路（LCR回路）の電流振動
• 音響・波動のモデル式
• 振動台・共振現象の設計と解析
• 自然周波数と固有振動の研究
活用分野：
物理学、機械工学、振動工学、電気回路、制御工学、地震工学、音響学、メカトロニクス
ローパスフィルタと一次遅れ系（ステップ入力時の微分方程式と応答）
ファイル名
lowpass_filter_stepinput_20250717.txt
プレーンテキスト入力
微分方程式：
τ·dy/dt + y = K·u(t)
ステップ入力：
x(t) = u(t) = 1（t ≥ 0）
WolframAlphaリンク（数値例）
補足と活用ソリューション
この系は1次遅れ系または一次ローパスフィルタと呼ばれ、ステップ入力に対して指数関数的に応答します。
微分方程式（ステップ入力）
τ·dy/dt + y = K
（x(t) = 1 ⇒ 定数入力）
解析解（初期値 y(0) = 0 の場合）
y(t) = K·(1 − e^(−t/τ))
-
K：定常値（最終的な出力） -
τ：時定数（応答が63.2%に達する時間） -
y(t)は単調増加し、t → ∞でy(t) → K
応用例
- センサ信号の平滑化（ノイズ除去）
- RC回路の応答（電圧充電）
- モータの立ち上がり応答
- PID制御の微分項の実装における出力遅延補償
活用分野
制御工学、信号処理、電子回路、メカトロニクス、システム同定、ロボティクス、熱伝達
放射性崩壊の基本式とtプロット（指数関数的減衰）
ファイル名
radioactive_decay_plot_20250717.txt
プレーンテキスト入力
N(t) = N₀ · e^(−λ·t)
数値例：
- 初期量：N₀ = 100
- 崩壊定数：λ = 0.1（1/s）
WolframAlpha プロットリンク（t による変化）
補足と活用ソリューション
この式は、**放射性物質の減少（崩壊）**や、電気回路のコンデンサ放電、化学反応速度、人口減少モデルにも応用される「指数関数的減衰」を示しています。
基本式
-
N(t)：時刻tにおける残存量 -
N₀：初期量（t = 0） -
λ：崩壊定数（大きいほど速く減る）
半減期との関係
- 半減期
T₁⁄₂ = ln(2) / λ ≈ 0.693 / λ
応用分野：
核物理、放射線医学、環境科学、電気回路、化学反応、人口動態モデリング、信号減衰、金融の割引率モデル
ロジスティック関数とその微分（人口・感染・AI学習率モデル）
ファイル名
logistic_function_derivative_20250717.txt
プレーンテキスト入力
f(t) = L / (1 + e^(−k(t − t₀)))
f'(t) = (L·k·e^(−k(t − t₀))) / (1 + e^(−k(t − t₀)))²
数値例：
- 最大値 L = 100
- 成長率 k = 0.5
- 中心時刻 t₀ = 10
WolframAlpha プロットリンク（t による関数と微分）
補足と活用ソリューション
ロジスティック関数とは？
- S字型の成長モデル：初期は指数関数的成長 → 成長が鈍化 → 上限 L に収束
- 使用分野：人口増加、ウイルス感染モデル、ニューラルネット学習、マーケティング普及モデル
微分の意味（f'(t)）
- f'(t) は 成長速度 を表す（傾き）
- 最大値は t = t₀ で取り、S字カーブの「中点」で最も急な成長
- f'(t) の形状は左右対称な山型（ベル型）
応用分野：
生態学、疫学、機械学習（シグモイド活性化関数）、経済拡張、AI学習曲線、技術普及曲線
ゲインのデシベル（dB）表現
ファイル名
gain_to_dB_20250717.txt
プレーンテキスト入力
G[dB] = 20·log₁₀(x) （x：電圧比・振幅比など）
G[dB] = 10·log₁₀(P₂/P₁) （電力比の場合）
WolframAlphaリンク（数値例）
- 20·log₁₀(2) ⇒ 約 +6.02 dB
- 20·log₁₀(0.5) ⇒ 約 −6.02 dB
- 10·log₁₀(100) ⇒ 20 dB（電力比）
補足と活用ソリューション
- デシベル（dB）は対数スケールでゲインや比率を表現する単位
- 主に信号処理・通信・音響・制御工学などで使用される
代表的な意味
| ゲイン x | dB値 | 意味 |
|---|---|---|
| 1 | 0 dB | 変化なし |
| 2 | +6.02 dB | 倍 |
| 0.5 | −6.02 dB | 半分 |
| 10 | +20 dB | 10倍（振幅） |
| 0.1 | −20 dB | 1/10（振幅） |
応用分野
- オーディオ機器のゲイン表示
- Bode線図の縦軸（ゲイン[dB] vs 周波数）
- アンテナ利得、増幅器、減衰器の仕様
- 制御系の周波数応答解析
- ノイズや信号強度の評価（S/N比）
正規分布（ガウス分布）の基本式とtプロット
ファイル名
normal_distribution_plot_20250717.txt
プレーンテキスト入力
f(x) = (1 / √(2πσ²)) · e^(−(x − μ)² / (2σ²))
数値例：
- 平均 μ = 0
- 標準偏差 σ = 1
WolframAlpha プロットリンク（x による変化）
補足と活用ソリューション
正規分布とは？
- 中心極限定理により自然界の多くの現象に現れる連続確率分布
- 平均
μを中心に、σによって広がり（ばらつき）を示す - 面積は常に 1（全体確率）
微分・対称性・応用性
- 尖った中心と左右対称の形状
- 微分：最大点は x = μ、変化は単調減少・増加で解析可能
- 応用：統計分析、誤差モデル、機械学習の確率分布モデリング、フィルタ設計、自然科学全般
活用分野
統計学、機械学習、信号処理、品質管理、経済学、誤差解析、自然科学、医療統計、ニューラルネットワークの初期化
部分積分とラプラス変換の関係（シンプル）
ファイル名
laplace_integration_by_parts_20250717.txt
プレーンテキスト入力
ラプラス変換の定義：
L{f(t)} = ∫₀^∞ f(t)·e^(−st) dt
部分積分の公式：
∫ u·dv = u·v − ∫ v·du
適用例（L{f'(t)}）：
L{f'(t)}
= ∫₀^∞ f'(t)·e^(−st) dt
= [f(t)·e^(−st)]₀^∞ − ∫₀^∞ f(t)(−s)e^(−st) dt
= −f(0) + s·L{f(t)}
結論：
L{f'(t)} = s·F(s) − f(0)
（F(s) = L{f(t)}）
応用分野：
微分方程式の解法、制御工学、信号処理、電気回路解析、振動解析
フーリエ級数の係数導出（直交性と積分）
ファイル名
fourier_series_integral_orthogonality_20250717.txt
プレーンテキスト入力
f(t) ≈ a₀/2 + Σ [ aₙ·cos(nω₀t) + bₙ·sin(nω₀t) ]
係数（区間 [−T/2, T/2]）：
a₀ = (2 / T) ∫₋T/2^T/2 f(t) dt
aₙ = (2 / T) ∫₋T/2^T/2 f(t)·cos(nω₀t) dt
bₙ = (2 / T) ∫₋T/2^T/2 f(t)·sin(nω₀t) dt
WolframAlphaリンク（数値例）
補足と活用ソリューション
基本の考え方
- フーリエ級数は**直交関数系（cos, sin）**を使って関数を分解
-
直交性：
∫₋T/2^T/2 cos(mω₀t)·cos(nω₀t) dt = 0（m ≠ n）
∫₋T/2^T/2 sin(mω₀t)·cos(nω₀t) dt = 0（常に）
⇒ 他の項を消して、欲しい係数だけを積分で抽出可能
応用例
- 音声波形・周期関数の分解
- 振動解析、熱伝導の境界条件展開
- スペクトル分析・周波数応答の導出
- 数値フーリエ変換の理論的基盤
活用分野
信号処理、音響工学、機械振動、電気通信、制御工学、画像処理、熱解析、数学教育
三相交流（Three-Phase AC）の基本式と応用
ファイル名
three_phase_ac_20250717.txt
プレーンテキスト入力
相電圧（時間関数）：
vₐ(t) = Vₘ·sin(ωt)
v_b(t) = Vₘ·sin(ωt − 2π/3)
v_c(t) = Vₘ·sin(ωt + 2π/3)
数値例：
- 最大電圧 Vₘ = 100
- 周波数 f = 50 Hz（⇒ ω = 2π·50）
WolframAlpha プロットリンク
補足と活用ソリューション
三相交流とは？
- 3本の電圧波形が120°ずつ位相差を持って回転
- モーターや送電線などに用いられる
- 線間電圧：√3·相電圧、三角形 or Y接続あり
特徴
- 合成電力が一定（時間的変動がない）
- 効率的な電力伝送（単相よりも振動が少ない）
- 正逆相切替でモータ回転方向制御
応用分野
電力工学、モーター駆動、送電・配電、インバータ制御、ロボティクス、電力変換（AC-DC）、三相ブリッジ回路
活性化関数とその微分（ニューラルネットワーク用）
ファイル名
activation_function_derivatives_20250717.txt
プレーンテキスト入力（代表例）
-
シグモイド関数（sigmoid）
σ(x) = 1 / (1 + e^(−x))
σ'(x) = σ(x)·(1 − σ(x)) -
ハイパボリックタンジェント（tanh）
tanh(x) = (e^x − e^(−x)) / (e^x + e^(−x))
d/dx tanh(x) = 1 − tanh²(x) -
ReLU（Rectified Linear Unit）
ReLU(x) = max(0, x)
ReLU'(x) = 1（x > 0）, 0（x ≤ 0）
WolframAlpha プロットリンク（関数と微分）
補足と活用ソリューション
微分が重要な理由
- 逆伝播（backpropagation）で誤差勾配を計算するために微分が必須
- 活性化関数の滑らかさや非線形性が、学習性能や安定性に影響
応用分野
深層学習、機械学習、自然言語処理、画像認識、回帰・分類問題、強化学習、ニューラルネットアーキテクチャ設計
材料力学における微分の基本式と応用
ファイル名
mechanics_of_materials_derivatives_20250717.txt
プレーンテキスト入力
-
ひずみ（strain）：
ε(x) = du/dx （u: 変位） -
曲げたわみの微分関係：
θ(x) = dy/dx （角度）
κ(x) = d²y/dx² = M(x) / EI （曲率） -
応力変化（1次元静力学）：
dσ/dx + f(x) = 0 （内力の釣り合い）
WolframAlphaリンク（例）
補足と活用ソリューション
材料力学における微分の意味
- 変位 → ひずみ → 応力の流れは微分・比例関係でつながる
- 曲げやねじりなどでも、応力分布や変形形状の解析に微分が不可欠
基本関係式まとめ
| 物理量 | 数式 | 意味 |
|---|---|---|
| ひずみ ε(x) | ε = du/dx | 変位の空間変化 |
| 曲率 κ(x) | κ = d²y/dx² | 梁の曲げの鋭さ |
| 曲げモーメント | M = EI·d²y/dx² | たわみに関係 |
| せん断力 | V = dM/dx | モーメントの変化率 |
| 分布荷重 | w = dV/dx | せん断力の変化率 |
応用分野
構造力学、土木・建築設計、機械構造解析、有限要素法（FEM）、橋梁・ビーム設計、振動解析、応力評価、破壊力学
たわみ関数 y(x) の4階微分と梁のたわみ方程式
ファイル名
beam_deflection_eq_20250717.txt
プレーンテキスト入力
EI·d⁴y/dx⁴ = q(x)
WolframAlphaリンク（数値例）
補足と活用ソリューション
基本式（Euler-Bernoulli 梁のたわみ方程式）
- EI·d⁴y/dx⁴ = q(x)
- ( y(x) )：たわみ（変位）
- ( E )：ヤング率（弾性係数）
- ( I )：断面2次モーメント
- ( q(x) )：分布荷重（N/m）
微分の物理的意味
| 微分階数 | 物理量 | 関係 |
|---|---|---|
| y(x) | たわみ（変位） | 観測される形状 |
| dy/dx | 回転角 θ(x) | 傾き |
| d²y/dx² | 曲率 κ(x) | 曲がり具合、∝ M(x) |
| d³y/dx³ | せん断力 V(x) に対応 | モーメントの変化率 |
| d⁴y/dx⁴ | 荷重 q(x) に対応 | せん断力の変化率 |
応用例
- 梁のたわみ計算（片持ち梁、単純支持梁など）
- 構造設計（たわみ制限）
- 有限要素法（FEM）での剛性マトリクス構築
- 振動モード解析や損傷診断
活用分野
建築構造、土木工学、機械設計、構造解析、船舶・航空機設計、橋梁工学、数値計算法（FEM）
球体の積分（体積・表面積の導出）
ファイル名
sphere_integral_20250717.txt
プレーンテキスト入力
半径 r の球体の体積：
V = ∫₋r^r π·(r² − x²) dx = (4/3)·π·r³
表面積（微小球殻の積分）：
S = ∫₀^π ∫₀^{2π} r²·sinθ dφ dθ = 4·π·r²
WolframAlphaリンク（積分確認）
補足と活用ソリューション
体積の導出（断面積の積分）
- 横断面（円）面積：A(x) = π·(r² − x²)
- x軸方向に積分： V = ∫₋r^r A(x) dx = (4/3)·π·r³
表面積の導出（球面座標による面積積分）
- 球面要素面積：dS = r²·sinθ·dθ·dφ
- 全体積分： S = ∫₀^π ∫₀^{2π} r²·sinθ dφ dθ = 4·π·r²
応用分野
- 幾何学、解析学
- 流体力学・天体力学（球対称モデル）
- 電磁気学（ガウス積分、球面対称電場）
- 医用画像（MRI/CT での球体モデル）
- 材料工学（球状粒子、空隙率）
PID制御のステップ応答（シンプル）
ファイル名
pid_step_response_20250717.txt
プレーンテキスト入力
【PID制御器の伝達関数】
G(s) = Kp + Ki/s + Kd·s
= Kd·s² + Kp·s + Ki / s
【ステップ入力】
R(s) = 1/s （単位ステップ）
【出力応答（Y(s)）の例：開ループ】
Y(s) = G(s)·R(s)
= (Kp + Ki/s + Kd·s) · (1/s)
= Kp/s + Ki/s² + Kd
数値例（Kp = 1, Ki = 2, Kd = 0.5）
Y(s) = 1/s + 2/s² + 0.5
WolframAlphaリンク：
1/s + 2/s² + 0.5 の逆ラプラス変換
時間領域での応答（逆ラプラス変換）：
y(t) = Kp + Ki·t + Kd·δ(t) ※理想的な場合（δ(t)：ディラックのデルタ関数）
補足
- P項： ステップに対して定常値応答を生む
- I項： 積分により直線的に増加（位置制御など）
- D項： ステップの瞬間に衝撃的応答（理想ではデルタ関数）
応用：
モータ制御、温度制御、ロボットの姿勢制御、航空機のピッチ制御など
ディリクレ積分
ファイル名
dirichlet_integral_20250717.txt
プレーンテキスト入力
$$
I = \int_0^\infty \frac{\sin x}{x} , dx
$$
WolframAlpha リンク
∫₀^∞ sin(x)/x dx
結果
$$
I = \frac{\pi}{2}
$$
解説（簡略）
この積分は初等関数では計算不可能な形だが、フーリエ解析・複素積分・ラプラス変換を用いると評価可能。
アプローチ例：
-
フーリエ変換による導出：
$\displaystyle \mathcal{F}[\text{矩形関数}] = \mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin x}{x}$
から面積が $\pi$ であることを示し、その半分が $[0, \infty)$ での積分値に対応。 -
ラプラス変換による類似式：
$$
\int_0^\infty \frac{\sin(at)}{t} , dt = \frac{\pi}{2} \quad (a > 0)
$$
応用・重要性
- フーリエ解析の基本積分（$\mathrm{sinc}$ 関数の面積）
- 信号処理での**帯域制限フィルタ（sinc関数の理想応答）**に登場
- **物理学（回折・波動）・工学（変調・復調）**にも必須
- 数学的には「振動する分子の平均」や「収束判定の極限問題」に現れる
類題（応用例）
| 積分式 | 結果 |
|---|---|
| $\displaystyle \int_0^\infty \frac{\sin(ax)}{x} dx$ | $\frac{\pi}{2}$ （$a > 0$） |
| $\displaystyle \int_0^\infty \frac{\sin^2 x}{x^2} dx$ | $\frac{\pi}{2}$ |
| $\displaystyle \int_0^\infty \frac{\sin^2 x}{x} dx$ | 発散（注意！） |