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抽象解析カリキュラム

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🧩 第1章:導入(直観と厳密性の橋渡し)

🎯 目的:

  • 数列や関数の極限、連続性の直観を厳密な言葉に翻訳できるようにする。

📚 内容:

  • 実数の性質(順序体・上限性・可算性)
  • ε-δ 論法による極限・連続の定義
  • 単調収束定理・ボルツァーノ–ワイエルシュトラスの定理
  • 数列・関数列の収束(点収束、一様収束)

🧩 第2章:関数の解析(微分・積分の抽象理論)

🎯 目的:

  • 高校数学の「感覚的な微積分」を、極限・収束・近似の理論として定義し直す。

📚 内容:

  • 微分可能性と連続性の関係(例:微分可能だが連続でない例)
  • リーマン積分とその限界
  • 有界変動関数、微分積分学の基本定理
  • 関数列の一様収束と交換可能性

🧩 第3章:ルベーグ理論と測度論

🎯 目的:

  • 「測れる」という概念を形式化し、より広い積分理論を学ぶ。

📚 内容:

  • σ加法族、測度空間、可測関数
  • ルベーグ積分の定義
  • モノトーン収束定理、ファトゥの補題、優収束定理
  • $L^p$ 空間の定義とノルム構造

🧩 第4章:関数解析入門(無限次元空間の解析)

🎯 目的:

  • 微分方程式・量子力学・最適化問題に共通する基盤「線形空間+ノルム」の世界を理解。

📚 内容:

  • ノルム空間・バナッハ空間・ヒルベルト空間
  • 有界線形作用素、連続性と有界性の同値性
  • ハーン・バナッハの定理、バナッハの不動点定理
  • リース表現定理、スペクトル理論入門

🧩 第5章:応用と現代的展開

🎯 目的:

  • PDE(偏微分方程式)、確率解析、数理ファイナンスなど、応用分野に接続。

📚 内容:

  • Sobolev空間と弱微分
  • ヒルベルト空間での固有値問題
  • Fokker-Planck方程式、Langevin方程式の解釈
  • 変分法、最適化問題と双対性

🧭 カリキュラム進行例(目安)

レベル 期間 主教材 ゴール
初級 1〜3ヶ月 解析入門、解析概論 ε-δ 論法の理解、極限・収束・積分の厳密化
中級 3〜6ヶ月 ルベーグ積分、関数解析入門 $L^p$ 空間・作用素の取り扱い
上級 6ヶ月〜 PDE、測度付き確率解析 無限次元での構造理解、応用展開

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