1. スカラー量とベクトル量
- スカラー量 (scalar)：大きさのみを持つ物理量（例：質量 $m$、温度 $T$）。
- ベクトル量 (vector)：大きさと向きを持つ物理量（例：速度 $\vec{v}$、力 $\vec{F}$）。
2. ベクトルの表記
-
列ベクトル (column vector)
$$
\vec{v} =
\begin{pmatrix}
v_1 \
v_2 \
v_3
\end{pmatrix}
$$ -
成分表示
$\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$
3. ベクトルの演算
-
加算 (Addition)
$\vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1, , u_2 + v_2, , u_3 + v_3)$ -
スカラー倍 (Scalar Multiplication)
$a \vec{v} = (a v_1, , a v_2, , a v_3)$
4. 単位ベクトルと正規化
-
ベクトルの大きさ（ノルム）
$|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$ -
正規化 (Normalization)
$\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$
（$|\hat{v}| = 1$）
5. 機械学習・工学での利用例
-
特徴ベクトル (feature vector)：
データ $\vec{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ を n次元ベクトルとして扱う。 -
距離（ユークリッド距離）：
$$
d(\vec{x}, \vec{y}) = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}
$$ -
正規化ベクトルは、勾配法・SVM・ニューラルネットワークでの方向ベクトル計算に頻出。
以下は「第2章：内積と外積」における工学・物理・機械学習的観点からの重要式まとめです。
1. 内積（ドット積, scalar product）
● 定義（ユークリッド空間）
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = |\vec{a}||\vec{b}| \cos\theta
$$
● 直交性の判定
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Rightarrow \vec{a} \perp \vec{b}
$$
● ベクトル間の角度
$$
\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}
$$
● 内積による射影
$$
\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b}
$$
2. 外積（クロス積, vector product）
● 定義（3次元のみ）
$$
\vec{a} \times \vec{b} =
\begin{pmatrix}
a_2 b_3 - a_3 b_2 \
a_3 b_1 - a_1 b_3 \
a_1 b_2 - a_2 b_1
\end{pmatrix}
$$
● 結果ベクトルの性質
- $\vec{a} \times \vec{b} \perp \vec{a}$, $\vec{a} \times \vec{b} \perp \vec{b}$
- 向きは右手系に従う（右ねじの法則）
● 大きさと面積
$$
|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta = \text{平行四辺形の面積}
$$
3. 物理応用（工学含む）
● 仕事 $W$（内積）
$$
W = \vec{F} \cdot \vec{d} = |\vec{F}||\vec{d}|\cos\theta
$$
（$\vec{F}$：力、$\vec{d}$：変位）
● トルク（モーメント）$\vec{\tau}$（外積）
$$
\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}
$$
（$\vec{r}$：支点から力の作用点までのベクトル）
● 角運動量 $\vec{L}$
$$
\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times m\vec{v}
$$
4. 機械学習での内積の例
● 線形分類器（SVMなど）
$$
f(\vec{x}) = \vec{w} \cdot \vec{x} + b
$$
● コサイン類似度（cosine similarity）
$$
\text{sim}(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}
$$
（文書ベクトルの比較などに使われる）
1. 点・直線・平面の表現
● 点 $P$ の座標表現
$$
P = (x, y, z) \in \mathbb{R}^3
$$
2. 直線の表現（パラメトリック形式）
● 点 $\vec{r}_0$、方向ベクトル $\vec{d}$
$$
\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + t \vec{d} \quad (t \in \mathbb{R})
$$
- 例：$\vec{r}_0 = (x_0, y_0, z_0), \vec{d} = (a, b, c)$
$$
\vec{r}(t) = (x_0 + at, , y_0 + bt, , z_0 + ct)
$$
3. 平面の表現（点と法線ベクトル）
● 法線ベクトル $\vec{n} = (A, B, C)$、通る点 $(x_0, y_0, z_0)$
$$
A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0
$$
- または：
$$
Ax + By + Cz + D = 0 \quad (D = -Ax_0 - By_0 - Cz_0)
$$
4. 距離の公式
● 点 $P=(x_1,y_1,z_1)$ と直線の距離
$$
d = \frac{|\vec{v} \times (\vec{p} - \vec{a})|}{|\vec{v}|}
$$
（$\vec{a}$：直線上の点、$\vec{v}$：方向ベクトル、$\vec{p}$：任意の点）
● 点と平面の距離（法線 $\vec{n} = (A, B, C)$）
$$
d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}
$$
5. ベクトルの位置関係条件
● 平行（直線 or 平面）
- 直線同士: 方向ベクトルが比例
$\vec{a} \parallel \vec{b} \iff \vec{a} = k\vec{b}$ - 平面: 法線ベクトルが比例
● 垂直
-
ベクトル間が直交
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ -
直線と平面が垂直：
$\vec{d}{line} \cdot \vec{n}{plane} = 0$
6. 空間図形 × ベクトル（工学応用）
● 剛体の構造（リンク機構、フレーム）
- 節点間ベクトル $\vec{l}_{ij} = \vec{r}_j - \vec{r}_i$
- 距離一定制約：
$|\vec{l}{ij}| = L{ij} \text{（固定長）}$
● ロボットアーム（順運動学）
$$
\vec{p}_{end} = \vec{T}_1 \cdot \vec{T}_2 \cdots \vec{T}_n \cdot \vec{p}_0
$$
（$\vec{T}_i$：変換行列、$\vec{p}_0$：初期点）
7. 機械学習との関係
● 高次元特徴空間内の超平面
- 線形分類器（SVMなど）：
$$
\vec{w} \cdot \vec{x} + b = 0 \Rightarrow \text{decision boundary}
$$
（法線ベクトル：$\vec{w}$）
● 点と超平面の距離（マージン計算）
$$
d = \frac{|\vec{w} \cdot \vec{x} + b|}{|\vec{w}|}
$$
1. ベクトル値関数（時間・空間依存）
● ベクトル関数の定義
時間 $t$ に依存する位置ベクトル：
$$
\vec{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))
$$
● 微分（成分ごとに）
$$
\frac{d\vec{r}}{dt} = \left( \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt} \right)
$$
2. 速度ベクトル・加速度ベクトル
● 速度ベクトル $\vec{v}(t)$
$$
\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt}
$$
● 加速度ベクトル $\vec{a}(t)$
$$
\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}(t)}{dt} = \frac{d^2\vec{r}(t)}{dt^2}
$$
3. 曲率と Frenet-Serret 枠
● 単位接ベクトル（Tangent）
$$
\vec{T}(t) = \frac{\vec{v}(t)}{|\vec{v}(t)|}
$$
● 曲率（Curvature）
$$
\kappa(t) = \left| \frac{d\vec{T}(t)}{ds} \right| = \frac{|\vec{v}(t) \times \vec{a}(t)|}{|\vec{v}(t)|^3}
$$
● 法線ベクトル（Normal）
$$
\vec{N}(t) = \frac{d\vec{T}/dt}{|d\vec{T}/dt|}
$$
● 従法線ベクトル（Binormal）
$$
\vec{B}(t) = \vec{T}(t) \times \vec{N}(t)
$$
4. 運動方程式（ニュートンの法則）
● 質点運動の基本式
$$
\vec{F} = m\vec{a}(t)
$$
（$\vec{F}$：合力、$m$：質量、$\vec{a}$：加速度）
5. 工学応用（軌道・ロボティクス）
● 追従制御などでの軌道計画
目標軌道：$\vec{r}_d(t)$、追従誤差：$\vec{e}(t) = \vec{r}(t) - \vec{r}_d(t)$
● PID制御のベクトル版（位置誤差制御）
$$
\vec{F}(t) = K_p \vec{e}(t) + K_d \frac{d\vec{e}}{dt} + K_i \int \vec{e}(t) dt
$$
6. 機械学習・時系列モデルとの関係
-
時系列特徴ベクトルの微分：
- 速度 → トレンドの傾き（一次差分）
- 加速度 → トレンドの変化率（二次差分）
-
RNN/LSTM における時間依存ベクトルも $\vec{x}(t)$ として同様の構造を持つ。
1. スカラー場（Scalar Field）
-
空間の各点に「スカラー値」を割り当てる関数：
$$
f(x, y, z): \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}
$$ -
例：温度 $T(x, y, z)$、圧力 $P(x, y, z)$、電位 $V(x, y, z)$
2. ベクトル場（Vector Field）
-
空間の各点に「ベクトル」を割り当てる関数：
$$
\vec{F}(x, y, z) = \left(F_x(x, y, z), F_y(x, y, z), F_z(x, y, z)\right)
$$ -
例：速度場 $\vec{v}$、電場 $\vec{E}$、磁場 $\vec{B}$
3. ナブラ演算子（del operator）
-
定義：空間微分のベクトル表現
$$
\nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x},, \frac{\partial}{\partial y},, \frac{\partial}{\partial z} \right)
$$
4. 勾配（Gradient）
-
スカラー場 $f(x, y, z)$ に対して：
$$
\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x},, \frac{\partial f}{\partial y},, \frac{\partial f}{\partial z} \right)
$$ -
意味：最大変化方向のベクトル、変化率の大きさ
-
応用：
- 電場：$\vec{E} = -\nabla V$
- 機械学習：損失関数の勾配降下
5. 発散（Divergence）
-
ベクトル場 $\vec{F} = (F_x, F_y, F_z)$ に対して：
$$
\nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}
$$ -
意味：その点からの「流出度合い」
-
応用：
- 流体の非圧縮性条件：$\nabla \cdot \vec{v} = 0$
- 電荷密度：$\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$（ガウスの法則）
6. 回転（Curl）
-
ベクトル場 $\vec{F} = (F_x, F_y, F_z)$ に対して：
$$
\nabla \times \vec{F} =
\left(
\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z},,
\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x},,
\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}
\right)
$$ -
意味：その点における「回転の軸と強さ」
-
応用：
- 電磁誘導：$\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$
- 流体の渦：$\nabla \times \vec{v} = \text{vorticity}$
1. スカラー場（Scalar Field）
-
空間の各点に「スカラー値」を割り当てる関数：
$$
f(x, y, z): \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}
$$ -
例：温度 $T(x, y, z)$、圧力 $P(x, y, z)$、電位 $V(x, y, z)$
2. ベクトル場（Vector Field）
-
空間の各点に「ベクトル」を割り当てる関数：
$$
\vec{F}(x, y, z) = \left(F_x(x, y, z), F_y(x, y, z), F_z(x, y, z)\right)
$$ -
例：速度場 $\vec{v}$、電場 $\vec{E}$、磁場 $\vec{B}$
3. ナブラ演算子（del operator）
-
定義：空間微分のベクトル表現
$$
\nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x},, \frac{\partial}{\partial y},, \frac{\partial}{\partial z} \right)
$$
4. 勾配（Gradient）
-
スカラー場 $f(x, y, z)$ に対して：
$$
\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x},, \frac{\partial f}{\partial y},, \frac{\partial f}{\partial z} \right)
$$ -
意味：最大変化方向のベクトル、変化率の大きさ
-
応用：
- 電場：$\vec{E} = -\nabla V$
- 機械学習：損失関数の勾配降下
5. 発散（Divergence）
-
ベクトル場 $\vec{F} = (F_x, F_y, F_z)$ に対して：
$$
\nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}
$$ -
意味：その点からの「流出度合い」
-
応用：
- 流体の非圧縮性条件：$\nabla \cdot \vec{v} = 0$
- 電荷密度：$\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$（ガウスの法則）
6. 回転（Curl）
-
ベクトル場 $\vec{F} = (F_x, F_y, F_z)$ に対して：
$$
\nabla \times \vec{F} =
\left(
\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z},,
\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x},,
\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}
\right)
$$ -
意味：その点における「回転の軸と強さ」
-
応用：
- 電磁誘導：$\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$
- 流体の渦：$\nabla \times \vec{v} = \text{vorticity}$
■ 1. グリーンの定理（Green’s Theorem）
【公式】
$$
\oint_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \iint_D (\nabla \times \vec{F}) \cdot \hat{k} , dA
$$
- $\vec{F} = (P(x, y), Q(x, y))$
- 成分形：
$$
\oint_C P,dx + Q,dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx,dy
$$
■ 2. ストークスの定理（Stokes’ Theorem）
【公式】
$$
\oint_{\partial S} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \iint_S (\nabla \times \vec{F}) \cdot \vec{n} , dS
$$
- $\partial S$：曲面 $S$ の境界、$\vec{n}$：法線ベクトル
■ 3. ガウスの発散定理（Divergence Theorem）
【公式】
$$
\iint_{\partial V} \vec{F} \cdot \vec{n} , dS = \iiint_V (\nabla \cdot \vec{F}) , dV
$$
- $\vec{F} = (F_x, F_y, F_z)$、$\vec{n}$：外向き法線
■ 4. 面積・体積と流束の関係
● 流束（Flux）：
$$
\Phi = \iint_S \vec{F} \cdot \vec{n} , dS
$$
● 発散定理による体積中の源の合計：
$$
\Phi = \iiint_V (\nabla \cdot \vec{F}) , dV
$$
■ 5. 工学的応用式
【5.1 熱伝導：フーリエの法則】
- 熱流密度：
$$
\vec{q} = -k \nabla T
$$
- 熱流束（熱量）：
$$
Q = \iint_S \vec{q} \cdot \vec{n} , dS = -k \iint_S (\nabla T) \cdot \vec{n} , dS
$$
【5.2 流体：流量保存・連続の式】
- 流量：
$$
Q = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} , dS
$$
- 非圧縮条件（定常）：
$$
\nabla \cdot \vec{v} = 0
$$
【5.3 電場：ガウスの法則】
- 積分形：
$$
\iint_{\partial V} \vec{E} \cdot \vec{n} , dS = \frac{Q_{\text{in}}}{\varepsilon_0}
$$
- 微分形：
$$
\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}
$$
【5.4 電磁誘導：ファラデーの法則】
- 電場の回転：
$$
\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}
$$
【5.5 磁場：ベクトルポテンシャル表示】
- 磁場：
$$
\vec{B} = \nabla \times \vec{A}
$$
- 電場（時間変化を含む）：
$$
\vec{E} = -\nabla \phi - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}
$$
■ 1. 電磁気学（Electromagnetism）
● 電場・磁場の定義式（ポテンシャルからの導出）
$$
\vec{E} = -\nabla \phi - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}
$$
$$
\vec{B} = \nabla \times \vec{A}
$$
● マクスウェルの方程式（SI単位系、ベクトル形式）
① ガウスの法則（電場）
$$
\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}
$$
② ガウスの法則（磁場）
$$
\nabla \cdot \vec{B} = 0
$$
③ ファラデーの法則（電磁誘導）
$$
\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}
$$
④ アンペール-マクスウェルの法則
$$
\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}
$$
■ 2. 流体力学（Fluid Mechanics）
● 連続の式（質量保存）
$$
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \vec{v}) = 0
$$
（非圧縮流体：$\nabla \cdot \vec{v} = 0$）
● 渦度ベクトル（Vorticity）
$$
\vec{\omega} = \nabla \times \vec{v}
$$
● ナビエ–ストークス方程式（粘性流体の運動方程式）
$$
\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla)\vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}
$$
- $\vec{v}$：速度ベクトル
- $p$：圧力
- $\rho$：密度
- $\mu$：動粘性係数
- $\vec{f}$：体積力（例：重力）
■ 3. 応力解析（Stress Analysis）
● 応力テンソル（Cauchy stress tensor）
$$
\sigma = \begin{pmatrix}
\sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \
\tau_{yx} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{zz}
\end{pmatrix}
$$
- 対称性：$\tau_{ij} = \tau_{ji}$
● トラクションベクトル（ある面に働く応力ベクトル）
$$
\vec{t} = \sigma \cdot \vec{n}
$$
- $\vec{n}$：面の単位法線ベクトル
● 主応力（Principal stress）
$$
\det(\sigma - \lambda I) = 0
\quad\Rightarrow\quad
\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3
$$
- 固有値 $\lambda_i$：主応力
- 固有ベクトル：主応力軸方向
● モールの応力円（2次元平面応力）
最大せん断応力：
$$
\tau_{\max} = \frac{1}{2} \sqrt{(\sigma_{xx} - \sigma_{yy})^2 + 4\tau_{xy}^2}
$$
● 応力の保存式（運動方程式）
$$
\rho \frac{D \vec{v}}{Dt} = \nabla \cdot \sigma + \vec{f}
$$
- $\frac{D}{Dt}$：物質微分
■ 1. ベクトル場・スカラー場の定義と可視化
● 2D スカラー場 $f(x, y)$
格子点：
$$
f_{i,j} \approx f(x_i, y_j)
$$
可視化方法：
- カラーマップ（等高線）：
$f(x, y) = \text{const}$
● 2D ベクトル場 $\vec{F}(x, y) = (F_x, F_y)$
格子点：
$$
F_x(i, j),\quad F_y(i, j)
$$
可視化方法：
- 矢印（quiver plot）
- 流線（streamplot）
- 大きさ：$|\vec{F}_{i,j}| = \sqrt{F_x^2 + F_y^2}$
■ 2. 数値微分（差分法）
格子間隔：
$$
\Delta x = x_{i+1} - x_i,\quad \Delta y = y_{j+1} - y_j
$$
● 勾配（Gradient）
$$
\nabla f_{i,j} \approx \left(
\frac{f_{i+1,j} - f_{i-1,j}}{2\Delta x},;
\frac{f_{i,j+1} - f_{i,j-1}}{2\Delta y}
\right)
$$
● 発散（Divergence）
$$
\nabla \cdot \vec{F}_{i,j} \approx
\frac{F_x(i+1,j) - F_x(i-1,j)}{2\Delta x} +
\frac{F_y(i,j+1) - F_y(i,j-1)}{2\Delta y}
$$
● 回転（Curl）※2Dベクトル場 → スカラー値
$$
(\nabla \times \vec{F})_{i,j} \approx
\frac{F_y(i+1,j) - F_y(i-1,j)}{2\Delta x} -
\frac{F_x(i,j+1) - F_x(i,j-1)}{2\Delta y}
$$
■ 3. 流線と等高線の描画式（理論）
● 流線（Streamline）
流線：$\frac{d\vec{r}}{ds} = \vec{F}(\vec{r})$
- 離散化：Euler / Runge–Kutta
- Python対応：
matplotlib.pyplot.streamplot
● 等高線（Contour）
等高線：$f(x, y) = \text{const}$
- Python対応：
matplotlib.pyplot.contour,contourf
■ 4. 工学シミュレーションとの連携式
● 有限要素法（FEM）例：ポアソン方程式
連続式：
$$
-\nabla \cdot (\kappa \nabla u) = f
$$
弱形式：
$$
\int_\Omega \kappa \nabla u \cdot \nabla v , d\Omega = \int_\Omega f v , d\Omega
$$
- $u$：未知関数、$v$：試験関数
● 有限体積法（FVM）例：保存則（スカラ保存量 $\phi$）
支配方程式：
$$
\frac{\partial \phi}{\partial t} + \nabla \cdot (\vec{v} \phi) = 0
$$
体積平均：
$$
\frac{d}{dt} \int_{V_i} \phi, dV + \int_{\partial V_i} \phi \vec{v} \cdot \vec{n}, dS = 0
$$
● CFDにおける離散ナビエ–ストークス方程式
$$
\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right)
= -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}
$$
- 数値実装時は $\nabla \cdot \vec{v} = 0$ により圧力ポアソン方程式が現れる。