✅ 1. ピアノ音の特徴
- 基本周波数（例：ド=C4=261.63Hz）
- 倍音（整数倍の周波数：2f, 3f, ...）が複数含まれる
- 減衰（打鍵後に音がだんだん小さくなる）
- 非正弦波的音色（理想波ではない）
✅ 2. 基本構造：減衰付き正弦波
まず、最も単純な1音のモデル：
$$
y(t) = A \cdot e^{-kt} \cdot \sin(2\pi f t)
$$
各成分の意味：
| 項目 | 意味 |
|---|---|
| $A$ | 初期振幅（打鍵の強さ） |
| $k$ | 減衰率（大きいほど早く消える） |
| $f$ | 基本周波数（例：261.63Hz） |
| $t$ | 時間（秒） |
✅ 3. 倍音を加えてピアノ音らしさを出す
倍音（harmonics）を考慮：
$$
y(t) = \sum_{n=1}^{N} A_n \cdot e^{-k_n t} \cdot \sin(2\pi f_n t)
$$
- $f_n = n \cdot f_1$：n倍の周波数
- $A_n$：各倍音の相対的振幅（例：1, 0.5, 0.3, ...）
- $k_n$：減衰率（高周波ほど早く減衰する）
✅ 4. 具体例：C4（ド）のピアノ音モデル
$$
y(t) =
1.0 \cdot e^{-2t} \cdot \sin(2\pi \cdot 261.63 \cdot t) +
0.5 \cdot e^{-3t} \cdot \sin(2\pi \cdot 523.26 \cdot t) +
0.3 \cdot e^{-4t} \cdot \sin(2\pi \cdot 784.89 \cdot t)
$$
- 基本周波数：261.63 Hz
- 第2倍音：523.26 Hz（オクターブ上）
- 第3倍音：784.89 Hz（完全12度上）
✅ 5. Pythonでシミュレーション可能
この合成式を使えば、減衰付きのリアルなピアノ音波形を生成可能。
「出力」と入力すれば、上記モデルに基づいたPythonスクリプトを生成します。
✅ 補足：本物のピアノとの違い
| モデル（式） | 実ピアノ |
|---|---|
| 減衰は単純な指数関数 | 実際は共鳴や弦相互作用がある複雑な減衰 |
| 倍音は理想整数倍 | 実ピアノは弦の剛性により「非整数倍」になる（倍音のずれ） |
| 音色は振幅と周波数の和で近似 | 実音は打鍵の力、鍵盤、ペダルなどにより変化 |
# Program Name: piano_colab_play.py
# Creation Date: 20250806
# Overview: Simulate and play a piano tone with harmonics and decay using IPython Audio in Google Colab
# Usage: Run this cell in Google Colab to generate, plot, and play a synthesized piano tone
!pip install numpy matplotlib
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from IPython.display import Audio
# ======================== パラメータ設定 / Parameters ========================
f1 = 261.63 # C4 ドの周波数 [Hz]
A_n = [1.0, 0.5, 0.3] # 各倍音の振幅 / Harmonic amplitudes
k_n = [2.0, 3.0, 4.0] # 各倍音の減衰率 / Damping rates
fs = 44100 # サンプリング周波数 / Sampling rate
T = 2.0 # 再生時間 / Duration [s]
t = np.linspace(0, T, int(fs*T), endpoint=False)
# ======================== 音波合成 / Waveform synthesis ========================
y = np.zeros_like(t)
for n in range(len(A_n)):
freq = (n + 1) * f1
amp = A_n[n]
decay = k_n[n]
y += amp * np.exp(-decay * t) * np.sin(2 * np.pi * freq * t)
y /= np.max(np.abs(y)) # 正規化 / Normalize
# ======================== 波形表示 / Plot waveform ========================
plt.figure(figsize=(10, 4))
plt.plot(t, y)
plt.title('Simulated Piano Tone (C4) with Harmonics and Decay')
plt.xlabel('Time [s]')
plt.ylabel('Amplitude')
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()
# ======================== FFT解析 / FFT analysis (semi-log) ========================
freq_axis = np.fft.rfftfreq(len(t), 1/fs)
spectrum = np.abs(np.fft.rfft(y)) / len(t)
plt.figure(figsize=(10, 4))
plt.semilogy(freq_axis, spectrum)
plt.title('FFT Spectrum (Log Amplitude) of Synthesized Piano Tone')
plt.xlabel('Frequency [Hz]')
plt.ylabel('Amplitude (log scale)')
plt.grid(True, which='both')
plt.tight_layout()
plt.show()
# ======================== 再生 / Audio playback ========================
Audio(data=y, rate=fs)