1 / (X (logX)^2)
プレーンテキスト式
1 / (X * (logX)^2)
WolframAlpha式とリンク
1 / (x * (ln x)^2)
https://www.wolframalpha.com/input?i=1+%2F+%28x+*+%28ln+x%29%5E2%29
補足
東京慈恵会医科大学2025年の数学（解析）で出題された式の一部。対数関数の漸近的な挙動や、積分収束性の判定などに用いられる形式。特に無限大における減衰率や極限処理、比較積分などで使用されることがある。自然対数lnを用いた場合、積分 ∫[a,∞] 1/(x (ln x)^2) dx は収束することが知られている。
回転体の体積（昭和大学医学部 2024年）
プレーンテキスト式
V = ∫_{-1}^{1} [ (π - (9√6)/4) * (1 - t^2) + 36√(1 - t^2) ] dt
WolframAlpha式とリンク
integrate [(pi - (9sqrt(6))/4)(1 - t^2) + 36*sqrt(1 - t^2)] from t = -1 to 1
補足
• この式は、回転体の体積を求めるための定積分である。
• 被積分関数の中に (1 - t^2) や √(1 - t^2) が現れており、これは半径 √(1 - t^2) の円（円の面積公式 A = πr²）の断面を回転させる形を想定している。
• t は区間 [-1, 1] を動く媒介変数であり、断面を動かしながら立体を形成する積分操作がなされている。
• 特に √(1 - t^2) の項は円形断面の半径に対応し、円周または円弧に基づく回転対称性を持つ体積計算によく現れる。
ベータ関数形式の定積分
プレーンテキスト式
120 ∫₀¹ x^3 * (1 - x)^7 dx
WolframAlpha式とリンク
120 * integrate x^3 * (1 - x)^7 from x = 0 to 1
補足
• この積分はベータ関数の形
∫₀¹ x^(m−1) * (1−x)^(n−1) dx = B(m, n)
に基づいており、ここでは m = 4, n = 8 に相当。
• ベータ関数と階乗の関係：
B(m, n) = (m−1)! * (n−1)! / (m+n−1)!
• よってこの積分は：
120 × B(4, 8)
= 120 × (3! × 7!) / 11!
= 120 × 6 × 5040 / 39916800
= 3628800 / 39916800
= 1 / 11
• 結果：
120 × ∫₀¹ x³ * (1−x)⁷ dx = 120 / 11
BCの最大値と最小値
プレーンテキスト式（コピペ可）
まず与えられた式は：
BC = √(1 + 16 cos²θ − 16 cos⁴θ)
これを変形して：
BC = √(−16 (cos²θ − 1/2)² + 5), 0 < θ < π/3
⸻
補足（2024年度 熊本大学）
この式は、三角関数の平方完成と最大・最小値の評価をテーマとした問題で、与えられたθの範囲内でのBCの最大値と最小値を求めることが目的です。
解説ポイント：
• 与式：
BC = √(−16 (cos²θ − 1/2)² + 5)
• 内部の式 −16 (cos²θ − 1/2)² + 5 の最大値・最小値を評価する問題。
• cos²θ ∈ (1/4, 1] の範囲で評価すれば、(cos²θ − 1/2)² ∈ (0, 9/16]
• よって、BC² の最小値は：
BC² = −16 × 9/16 + 5 = −9 + 5 = −4 （非現実的 → cos²θが9/16になることはない）
• 実際には、cos²θ の範囲に基づいて (cos²θ − 1/2)² の最大値は (1 − 1/2)² = 1/4
• 最小値（cos²θ = 1/2 のとき）：
BC = √(−16×0 + 5) = √5
• 最大値（cos²θ → 0 のとき）：
BC = √(−16×(−1/2)² + 5) = √(−4 + 5) = √1 = 1
⸻
結論（範囲内）
BC の最大値：√5
BC の最小値：1
※問題の文脈により範囲が異なる場合があります。必要なら cosθ の具体的な範囲に基づいて再評価可能です。