順序・無限・構造・解析と純粋数学(日記)

第1部：論理・順序・集合の基礎構築

1. 命題・述語論理と形式的証明
   • 命題論理：真理値表、トートロジー、推論規則
   • 一階述語論理：量化子、項、論理式、構文論と意味論
   • 自由変数／束縛変数、証明体系（自然演繹、ヒルベルト体系）

2. 集合論の公理と集合構造
   • ZFC 公理系：外延性、公理的構築（空集合、和集合、冪集合、公理的無限）
   • 集合の基本操作、写像・逆写像、直積、合成写像
   • 順序数・基数、整列集合、選択公理とその同値性（Zornの補題、整列可能定理）

3. 順序構造と束論
   • 半順序集合・全順序集合、完備束・分配束・ブール代数
   • 下限・上限、最小元・最大元、ギャロア接続
   • Heyting代数と直観主義論理、位相空間との関係

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第2部：無限・濃度と基礎論の深化

1. カントール理論と濃度階層
   • 可算集合・非可算集合（実数の非可算性）
   • 対角線論法、シュレーダー・ベルンシュタイン定理
   • 濃度の演算：加法・乗法・冪集合
   • アレフ階層と連続体仮説（CH）、一般連続体仮説（GCH）

2. 公理的集合論と強制法の概観
   • ZFCのモデル論：Skolem関数、スコーレムのパラドックス
   • Gödelの完全性定理・不完全性定理（構文論 vs 意味論）
   • 強制法（forcing）による独立性証明の直観的理解

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第3部：実解析と極限構造

1. 実数体系とε-δ理論
   • 実数の構成（Dedekind切断、Cauchy列）
   • 完備性と上限性質
   • ε-δ 論法による極限・連続・一様連続の厳密定義

2. 微分・積分・関数列の解析的構造
   • 平均値の定理、テイラー定理と剰余項評価
   • リーマン積分と可積分関数の判定条件
   • 一様収束と微分・積分の交換、関数空間における構造

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第4部：測度・関数解析・無限次元構造

1. ルベーグ測度と収束定理
   • σ-加法族、可測集合・関数の構築
   • ルベーグ積分とリーマン積分の包含関係
   • 優収束定理・モノトーン収束定理・ルベーグの収束定理

2. バナッハ空間・ヒルベルト空間
   • ノルム空間・内積空間、完備性と連続線形写像
   • リースの表現定理、直交展開、フーリエ解析
   • 有界作用素、スペクトル理論の初歩

3. 関数空間と弱収束
   • Lp空間、Sobolev空間、双対空間の構造
   • 弱収束・強収束・弱*収束の違いと意味
   • 分布・超関数と微分演算の拡張（解析的構造の極限的形式）

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第5部：圏論と構造の抽象統一

1. 圏論の基礎構築
   • 圏（category）：対象・射・合成・恒等射
   • 関手・自然変換、随伴・極限・余極限の概念
   • ヨネダ補題と圏論的同値

2. 論理・集合論と圏の対応
   • 命題論理＝ブール代数＝トポスの射影構造
   • 集合圏（Set）、関手圏（[C, Set]）とトポス理論への導入
   • モデル理論と圏論的論理（カテゴリカル・セマンティクス）

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