代表的な近似手法一覧（分類つき）
| 手法名 | 主な特徴・使いどころ |
|---|---|
| テイラー展開 | 微分可能な関数を、ある点の周りで多項式で近似する |
| マクローリン展開 | テイラー展開の特別なケース（展開点が0） |
| パデ近似 | 分数（有理式）で近似する。発散や振動を抑える効果あり |
| 漸近展開（asymptotic expansion） | x→∞ や x→0 の極限で「漸近的に一致する」近似式 |
| ニュートン法（数値解法） | 方程式の解を数値的に近似（例：√2 の近似など） |
| ラプラス近似 | 確率分布を正規分布で近似（統計やベイズ推定で使用） |
| 最小二乗法 | 実測データを曲線（直線など）で「最も誤差が小さい形」で近似 |
| フーリエ級数展開 | 周期関数を三角関数の和で近似（振動・波動の解析に使う） |
| チェビシェフ多項式近似 | 誤差を最小化する多項式近似（振動の均等化） |
| ビンラジ展開（Binomial expansion） | $(1 + x)^r$ を小さな $x$ に対して展開 |
🔍 それぞれの使い方・特徴（かんたん解説）
1. テイラー展開（Taylor expansion）
$$
f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots
$$
- $x$ が $a$ に近いとき有効
- 解析的な導関数が必要
- 例：$\sin x$, $e^x$, $\ln(1+x)$ など
2. パデ近似（Padé approximation）
$$
f(x) \approx \frac{P_m(x)}{Q_n(x)}
$$
- 分数で近似 ⇒ 振動・発散に強い
- 周波数領域や制御工学で活用
- 例：指数関数の精度向上
3. 漸近展開（Asymptotic expansion）
$$
f(x) \sim a_0 + \frac{a_1}{x} + \frac{a_2}{x^2} + \cdots \quad (x \to \infty)
$$
- 発散しても OK（形式的展開）
- 精度より「振る舞い」に注目
- 例：ガンマ関数の近似など
4. 最小二乗近似（Least squares）
$$
\text{誤差} = \sum_{i=1}^n (y_i - ax_i - b)^2
$$
- 実験データへの「直線フィット」に便利
- PythonやExcelでも簡単に使える
- 回帰分析と同じ原理
5. フーリエ近似（Fourier expansion）
$$
f(x) \approx \sum_{n=0}^{\infty} a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)
$$
- 周期関数に超強い
- 音・波・熱などに広く使う
🎓 まとめ：使い分けガイド
| 使う場面 | 最適な近似手法 |
|---|---|
| 関数の微小変化を知りたい | テイラー展開、マクローリン展開 |
| x がすごく大きい or 小さい | 漸近展開 |
| 実験データを数式化したい | 最小二乗法 |
| 周期的な現象を解析したい | フーリエ級数展開 |
| 精度が必要、でも発散しがち | パデ近似 |