最小二乗法で2次関数による近似と線形結合

参考リンクまとめ

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Pythonコード（最小二乗法で2次関数による近似）

# 必要なライブラリをインポート / Import necessary libraries
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# サンプルデータの生成 / Generate sample data
np.random.seed(0)  # 再現性のためのシード固定 / Set random seed for reproducibility
x = np.linspace(-3, 3, 50)
y_true = 2 + 0.5 * x - x**2           # 真の関数（2次関数） / True function
y = y_true + np.random.normal(0, 1, x.shape)  # ノイズを加えた観測値 / Noisy observations

# 最小二乗法のためのX行列の構築 / Design matrix for least squares
X = np.vstack([np.ones_like(x), x, x**2]).T  # [1, x, x^2] の列ベクトル

# 最小二乗法による係数ベクトルの計算 / Solve least squares: c = (X^T X)^(-1) X^T y
c_hat = np.linalg.inv(X.T @ X) @ X.T @ y

# 近似曲線の計算 / Predicted values using fitted coefficients
y_fit = X @ c_hat

# グラフの描画 / Plot the data and the approximation
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.scatter(x, y, label='Observed Data', color='blue')
plt.plot(x, y_true, label='True Function', linestyle='--', color='gray')
plt.plot(x, y_fit, label='Least Squares Fit (Quadratic)', color='red')
plt.title('Quadratic Approximation by Least Squares')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

# 係数の表示 / Print coefficients
print("Fitted coefficients (c0, c1, c2):", c_hat)

結果

Pythonコード：関数データをベクトルとして扱い、内積・スカラー倍・基底展開の基本を実演

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# -------------------------------
# データ準備：関数の離散化（ベクトル化）
# -------------------------------

x = np.linspace(0, 2 * np.pi, 100)

# 関数定義（ベクトル化）
vec_quad = x**2              # 2次関数 y = x^2
vec_sin = np.sin(x)          # 三角関数 y = sin(x)
vec_cos = np.cos(x)          # 三角関数 y = cos(x)

# -------------------------------
# 1. ベクトルとしての可視化
# -------------------------------
plt.plot(x, vec_quad, label='y = x^2')
plt.plot(x, vec_sin, label='y = sin(x)')
plt.plot(x, vec_cos, label='y = cos(x)')
plt.title('Function as Vectors')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

# -------------------------------
# 2. ベクトル演算（内積・スカラー倍）
# -------------------------------

# 内積（関数同士の類似度）
dot_sin_cos = np.dot(vec_sin, vec_cos)
print(f"Inner product <sin, cos> = {dot_sin_cos:.4f}")

# スカラー倍（振幅を2倍に）
vec_sin_scaled = 2 * vec_sin

# -------------------------------
# 3. 基底展開の例（sinとcosの線形結合）
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# sin(x) + 0.5 * cos(x) として関数を構成
combined = vec_sin + 0.5 * vec_cos

plt.plot(x, combined, label='sin(x) + 0.5cos(x)', color='purple')
plt.title('Linear Combination of sin and cos')
plt.grid()
plt.legend()
plt.show()

結果