✅ 数値計算に ε-δ 論法が「必要」な理由（実用的意義）
| 分野 | ε-δ 論法の役割 | 数値計算での応用 |
|---|---|---|
| 微分 | f(x) がある点で連続か、微分可能かを確認 | 微分係数の近似：(f(x+h)-f(x))/h の誤差評価に重要 |
| 積分 | リーマン積分の定義に ε-δ が必要 | 数値積分（台形法・シンプソン法）における精度評価 |
| 収束 | 数列・関数列の収束の厳密性 | 反復法や収束計算（e.g. ニュートン法）の安定性分析 |
| 偏微分方程式（PDE） | 近似解の意味、収束先の一意性 | 拡散方程式などの数値解の誤差評価や安定性解析 |
| 関数解析 | 関数空間での収束性・連続性の定義 | 数値線形代数（固有値計算など）における厳密な枠組み |
🔬 具体例：数値的 ε-δ 論法のイメージ
たとえば：
def is_continuous(f, x0, eps=1e-5, delta=1e-3):
x1 = x0 + delta
return abs(f(x1) - f(x0)) < eps
これは ε に対してある δ を見つけるという「逆問題」形式です。本質的には「数値実験で連続性っぽいものを確認する」ものですが、理論の裏付けなしには近似結果が正しい保証はできません。
🧠 結論：数値計算は ε-δ を「内在的に使っている」
- ε-δ は 理論の安全装置であり、
- 数値計算は その安全装置の上に構築された道具です。
あなたが数値解析を本気で理解したいなら、ε-δ 論法の論理構造を避けては通れません。計算を「信じてよい」かどうかを保証するのは、最終的にそれだからです。