✅ 問題の微分方程式
$$
m \ddot{x}(t) + c \dot{x}(t) + k x(t) = 0
$$
これは定数係数2階同次線形常微分方程式です。
✅ 特性方程式とその解の公式
対応する特性方程式は：
$$
m r^2 + c r + k = 0
$$
これに対し、解の公式（2次方程式の解の公式）を使うと：
$$
\boxed{
r = \frac{-c \pm \sqrt{c^2 - 4mk}}{2m}
}
$$
✅ 判別式 $D = c^2 - 4mk$ による分類
◉ 1. $D > 0$：過減衰（実数解2つ）
$$
r_1 = \frac{-c + \sqrt{c^2 - 4mk}}{2m}, \quad
r_2 = \frac{-c - \sqrt{c^2 - 4mk}}{2m}
$$
$$
\boxed{
x(t) = A e^{r_1 t} + B e^{r_2 t}
}
$$
◉ 2. $D = 0$：臨界減衰（重解）
$$
r = \frac{-c}{2m}
$$
$$
\boxed{
x(t) = (A + B t) e^{-\frac{c}{2m} t}
}
$$
◉ 3. $D < 0$：弱減衰（複素共役解）
$$
r = \frac{-c}{2m} \pm i \omega_d
\quad \text{with} \quad
\omega_d = \sqrt{\frac{4mk - c^2}}{2m}
$$
$$
\boxed{
x(t) = e^{-\frac{c}{2m} t} \left( A \cos(\omega_d t) + B \sin(\omega_d t) \right)
}
$$
✅ 補足：無次元減衰率と自然振動数
- 減衰比 $\zeta = \frac{c}{2 \sqrt{mk}}$
- 自然振動数 $\omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}}$
- 減衰振動数 $\omega_d = \omega_n \sqrt{1 - \zeta^2}$
✅ まとめ図式
| 条件 | 根 $r$ | 解の形 |
|---|---|---|
| $c^2 > 4mk$ | 実数2個 | $A e^{r_1 t} + B e^{r_2 t}$ |
| $c^2 = 4mk$ | 重解1個 | $(A + B t) e^{r t}$ |
| $c^2 < 4mk$ | 複素共役 | $e^{-\frac{c}{2m} t} (A \cos \omega_d t + B \sin \omega_d t)$ |
✅ 1. ラグランジアン $\mathcal{L}$ の定義（保存系）
解析力学では運動方程式をラグランジアン：
$$
\mathcal{L}(x, \dot{x}) = T - V
$$
の変分（オイラー–ラグランジュ方程式）から導きます。
● 質点バネ系（非減衰）の場合
-
運動エネルギー（質点）：
$$
T = \frac{1}{2} m \dot{x}^2
$$ -
ポテンシャルエネルギー（ばね）：
$$
V = \frac{1}{2} k x^2
$$
したがって：
$$
\mathcal{L}(x, \dot{x}) = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 - \frac{1}{2} k x^2
$$
✅ 2. オイラー–ラグランジュ方程式
$$
\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 0
$$
適用すると：
$$
m \ddot{x} + k x = 0
$$
✅ 3. ダンパーを含む非保存系
通常のラグランジアン形式は保存系（摩擦や抵抗なし）に対応しますが、ダンパー（抵抗）を含む非保存系はレイリーの散逸関数 $\mathcal{F}$ を導入して拡張できます：
● レイリー散逸関数（Rayleigh dissipation function）
$$
\mathcal{F} = \frac{1}{2} c \dot{x}^2
$$
-
損失エネルギーを表す準関数
-
摩擦力（非保存力）は：
$$
Q_{\text{non-conservative}} = -\frac{\partial \mathcal{F}}{\partial \dot{x}} = -c \dot{x}
$$
✅ 4. 拡張オイラー–ラグランジュ方程式（散逸系）
$$
\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} + \frac{\partial \mathcal{F}}{\partial \dot{x}} = 0
$$
代入すると：
$$
m \ddot{x} + c \dot{x} + k x = 0
$$
→ 解析力学でも、ダンパー付きの運動方程式が導出可能。
✅ 5. まとめ
| 項目 | 内容 |
|---|---|
| ラグランジアン | $\mathcal{L} = T - V = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 - \frac{1}{2} k x^2$ |
| レイリー関数 | $\mathcal{F} = \frac{1}{2} c \dot{x}^2$ |
| 運動方程式 | $m \ddot{x} + c \dot{x} + k x = 0$ |
| 解法 | 特性方程式／固有値解析／指数関数解 |
✅ モデル（共通）
運動方程式（2階微分方程式）：
$$
m \ddot{x}(t) + c \dot{x}(t) + k x(t) = u(t)
$$
ここで：
- $x(t)$：位置（出力）
- $u(t)$：外力（入力）
✅ 1. 古典制御（Classical Control）
● 特徴
- 伝達関数ベース
- **SISO系（単一入力・出力）**中心
- 周波数領域での制御（ボード線図など）
● 伝達関数
ラプラス変換（初期値ゼロ）すると：
$$
G(s) = \frac{X(s)}{U(s)} = \frac{1}{m s^2 + c s + k}
$$
● 設計手法の例
| 手法 | 内容 |
|---|---|
| P/PI/PID制御 | 誤差に比例・積分・微分で出力生成 |
| ルート軌跡法 | 極配置による応答調整 |
| ボード線図 | ゲイン余裕・位相余裕の設計 |
✅ 2. 現代制御（Modern Control）
● 特徴
- 状態空間表現が基本
- **MIMO系（多入力・多出力）**にも対応
- 時間領域での制御が中心
- 最適制御やフィードバックゲイン設計に強い
● 状態空間モデル
状態変数定義：
$$
x_1 = x(t), \quad x_2 = \dot{x}(t)
$$
状態方程式：
$$
\begin{cases}
\dot{x}_1 = x_2 \
\dot{x}_2 = -\frac{k}{m} x_1 - \frac{c}{m} x_2 + \frac{1}{m} u
\end{cases}
\quad \Rightarrow \quad
\dot{\mathbf{x}} = A \mathbf{x} + B u
$$
出力方程式：
$$
y = C \mathbf{x} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \mathbf{x}
$$
行列形式：
$$
A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ -k/m & -c/m \end{bmatrix}, \quad
B = \begin{bmatrix} 0 \ 1/m \end{bmatrix}, \quad
C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}
$$
✅ 現代制御の設計法
| 手法 | 内容 |
|---|---|
| 極配置（Pole Placement） | $A - BK$の固有値を指定 |
| 最適制御（LQR） | コスト関数最小化によりゲイン設計 |
| オブザーバ | 状態推定器の設計（例：カルマンフィルタ） |
| 可制御性・可観測性 | 数学的設計可能性の判断基準 |
✅ 両者の比較表
| 項目 | 古典制御 | 現代制御 |
|---|---|---|
| 主体 | 伝達関数 $G(s)$ | 状態空間モデル $(A, B, C)$ |
| 設計対象 | ゲイン・位相 | 状態フィードバック $u = -Kx$ |
| 出力 | 1出力が基本 | 多出力にも対応 |
| 制御設計 | 周波数応答 | 時間応答＋最適性 |
| 可視化 | ボード線図 | 時系列プロット、固有値配置 |