0
0

Delete article

Deleted articles cannot be recovered.

Draft of this article would be also deleted.

Are you sure you want to delete this article?

構造力学と伝達関数

Posted at

📘 構造力学における伝達関数の基本構造

構造物(梁・柱・板など)に入力 $F(t)$(外力)が加わると、出力として変位 $y(t)$ が得られる。この動的応答は、ラプラス変換を使って以下のように定義される:

$$
G(s) = \frac{Y(s)}{F(s)}
$$

  • $F(s)$:入力外力 $F(t)$ のラプラス変換
  • $Y(s)$:応答変位 $y(t)$ のラプラス変換
  • $G(s)$:伝達関数。入力と出力の周波数領域における比

✅ 例1:単自由度系(Single DOF)

⚙️ 時間領域の運動方程式:

$$
m\ddot{y}(t) + c\dot{y}(t) + ky(t) = F(t)
$$

  • $m$:質量(mass)
  • $c$:減衰係数(damping)
  • $k$:ばね定数(剛性)

🔁 ラプラス変換後:

$$
(ms^2 + cs + k)Y(s) = F(s)
$$

よって伝達関数:

$$
G(s) = \frac{Y(s)}{F(s)} = \frac{1}{ms^2 + cs + k}
$$

🔍 特性量:

  • 固有振動数: $\omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}}$
  • 減衰比:    $\zeta = \frac{c}{2\sqrt{km}}$

✅ 例2:オイラー・ベルヌーイ梁(Euler-Bernoulli Beam)

⚙️ 偏微分方程式(時間領域):

$$
EI \frac{\partial^4 u(x,t)}{\partial x^4} + \rho A \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = f(x,t)
$$

  • $EI$:曲げ剛性(E:ヤング率, I:断面2次モーメント)
  • $\rho A$:単位長さあたりの質量(密度×断面積)

🔁 モード展開 + ラプラス変換:

$$
G(s; x_0, x_1) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\phi_n(x_1)\phi_n(x_0)}{s^2 + \omega_n^2}
$$

  • $\phi_n(x)$:第$n$モード形状
  • $\omega_n$:第$n$固有振動数
  • $x_0$:入力位置(力を加えた位置)
  • $x_1$:出力位置(変位を測る位置)

✅ 近似(1モード)すると:

$$
G(s) \approx \frac{\phi(x_1)\phi(x_0)}{s^2 + \omega_1^2}
$$

→「入力 $x_0$ に加えた力が、出力 $x_1$ における振動にどう影響するか」


✅ 例3:多自由度系(MDOF)

⚙️ 運動方程式(ベクトル形式):

$$
\mathbf{M} \ddot{\mathbf{y}}(t) + \mathbf{C} \dot{\mathbf{y}}(t) + \mathbf{K} \mathbf{y}(t) = \mathbf{F}(t)
$$

  • $\mathbf{M}, \mathbf{C}, \mathbf{K}$:質量・減衰・剛性マトリクス
  • $\mathbf{y}(t)$:変位ベクトル
  • $\mathbf{F}(t)$:外力ベクトル

🔁 ラプラス変換後:

$$
\mathbf{Y}(s) = \left( \mathbf{M}s^2 + \mathbf{C}s + \mathbf{K} \right)^{-1} \cdot \mathbf{F}(s)
$$

→ 成分ごとの伝達関数:

$$
G_{ij}(s) = \frac{Y_i(s)}{F_j(s)} = \left[ \left( \mathbf{M}s^2 + \mathbf{C}s + \mathbf{K} \right)^{-1} \right]_{ij}
$$

→「第$j$自由度に外力を加えたとき、第$i$自由度がどう応答するか」


✅ 工学応用と伝達関数の意味

応用対象 入力 出力 伝達関数の意味
地震応答解析 地盤加速度 $a_g(t)$ 各階の変位 $y_i(t)$ 地震応答伝達関数(各階の振動特性)
橋梁の動的解析 車両荷重 $F(t)$ 応力・たわみ $y(x,t)$ 橋の共振・たわみ特性
構造制振設計 外力(風・地震) 制振装置の出力応答 制御系(制振装置)の設計に必要な周波数応答
モーダル試験・同定 加振器の入力 $F(t)$ 加速度計の応答 $a(t)$ 周波数応答関数(FRF: Frequency Response Function)

🧠 補足

  • Bode線図ナイキスト線図で $G(s)$ を可視化すれば、制御設計にも適用可能
  • 状態空間モデルと変換して $G(s)$ を導出することもできる(特に MDOF)

0
0
0

Register as a new user and use Qiita more conveniently

  1. You get articles that match your needs
  2. You can efficiently read back useful information
  3. You can use dark theme
What you can do with signing up
0
0

Delete article

Deleted articles cannot be recovered.

Draft of this article would be also deleted.

Are you sure you want to delete this article?