📘 構造力学における伝達関数の基本構造
構造物（梁・柱・板など）に入力 $F(t)$（外力）が加わると、出力として変位 $y(t)$ が得られる。この動的応答は、ラプラス変換を使って以下のように定義される：
$$
G(s) = \frac{Y(s)}{F(s)}
$$
- $F(s)$：入力外力 $F(t)$ のラプラス変換
- $Y(s)$：応答変位 $y(t)$ のラプラス変換
- $G(s)$：伝達関数。入力と出力の周波数領域における比
✅ 例1：単自由度系（Single DOF）
⚙️ 時間領域の運動方程式：
$$
m\ddot{y}(t) + c\dot{y}(t) + ky(t) = F(t)
$$
- $m$：質量（mass）
- $c$：減衰係数（damping）
- $k$：ばね定数（剛性）
🔁 ラプラス変換後：
$$
(ms^2 + cs + k)Y(s) = F(s)
$$
よって伝達関数：
$$
G(s) = \frac{Y(s)}{F(s)} = \frac{1}{ms^2 + cs + k}
$$
🔍 特性量：
- 固有振動数： $\omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}}$
- 減衰比： $\zeta = \frac{c}{2\sqrt{km}}$
✅ 例2：オイラー・ベルヌーイ梁（Euler-Bernoulli Beam）
⚙️ 偏微分方程式（時間領域）：
$$
EI \frac{\partial^4 u(x,t)}{\partial x^4} + \rho A \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = f(x,t)
$$
- $EI$：曲げ剛性（E:ヤング率, I:断面2次モーメント）
- $\rho A$：単位長さあたりの質量（密度×断面積）
🔁 モード展開 + ラプラス変換：
$$
G(s; x_0, x_1) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\phi_n(x_1)\phi_n(x_0)}{s^2 + \omega_n^2}
$$
- $\phi_n(x)$：第$n$モード形状
- $\omega_n$：第$n$固有振動数
- $x_0$：入力位置（力を加えた位置）
- $x_1$：出力位置（変位を測る位置）
✅ 近似（1モード）すると：
$$
G(s) \approx \frac{\phi(x_1)\phi(x_0)}{s^2 + \omega_1^2}
$$
→「入力 $x_0$ に加えた力が、出力 $x_1$ における振動にどう影響するか」
✅ 例3：多自由度系（MDOF）
⚙️ 運動方程式（ベクトル形式）：
$$
\mathbf{M} \ddot{\mathbf{y}}(t) + \mathbf{C} \dot{\mathbf{y}}(t) + \mathbf{K} \mathbf{y}(t) = \mathbf{F}(t)
$$
- $\mathbf{M}, \mathbf{C}, \mathbf{K}$：質量・減衰・剛性マトリクス
- $\mathbf{y}(t)$：変位ベクトル
- $\mathbf{F}(t)$：外力ベクトル
🔁 ラプラス変換後：
$$
\mathbf{Y}(s) = \left( \mathbf{M}s^2 + \mathbf{C}s + \mathbf{K} \right)^{-1} \cdot \mathbf{F}(s)
$$
→ 成分ごとの伝達関数：
$$
G_{ij}(s) = \frac{Y_i(s)}{F_j(s)} = \left[ \left( \mathbf{M}s^2 + \mathbf{C}s + \mathbf{K} \right)^{-1} \right]_{ij}
$$
→「第$j$自由度に外力を加えたとき、第$i$自由度がどう応答するか」
✅ 工学応用と伝達関数の意味
| 応用対象 | 入力 | 出力 | 伝達関数の意味 |
|---|---|---|---|
| 地震応答解析 | 地盤加速度 $a_g(t)$ | 各階の変位 $y_i(t)$ | 地震応答伝達関数（各階の振動特性） |
| 橋梁の動的解析 | 車両荷重 $F(t)$ | 応力・たわみ $y(x,t)$ | 橋の共振・たわみ特性 |
| 構造制振設計 | 外力（風・地震） | 制振装置の出力応答 | 制御系（制振装置）の設計に必要な周波数応答 |
| モーダル試験・同定 | 加振器の入力 $F(t)$ | 加速度計の応答 $a(t)$ | 周波数応答関数（FRF: Frequency Response Function） |
🧠 補足
- Bode線図やナイキスト線図で $G(s)$ を可視化すれば、制御設計にも適用可能
- 状態空間モデルと変換して $G(s)$ を導出することもできる（特に MDOF）