第1章1 「外積」「ベクトル関数」 第1回
例題
$a = (1, -1, 2), , b = (1, 0, 2)$ のとき、 $a \times b$ を求めよ。また、$a, b$ の両方に垂直な単位ベクトルを求めよ。
解
$$
a \times b =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
1 & -1 & 2 \
1 & 0 & 2
\end{vmatrix}
= (-1 \cdot 2 - 2 \cdot 0, ; 2 \cdot 1 - 1 \cdot 2, ; 1 \cdot 0 - (-1) \cdot 1 )
= (-2, 0, 1)
$$
$$
|a \times b| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{5}
$$
したがって、$a, b$ の両方に垂直な単位ベクトルは
$$
\pm \frac{a \times b}{|a \times b|} = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} (-2, 0, 1)
$$
1.
$a = (2, -1, 4), , b = (-1, -3, 5)$ のとき、$a \times b$ を求めよ。また、$a, b$ の両方に垂直な単位ベクトルを求めよ。
2.
空間内に3点 $A(1, 2, 4), B(0, 4, 3), C(3, 6, 6)$ がある。このとき、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の両方に垂直な単位ベクトルを求めよ。また、$\triangle ABC$ の面積を求めよ。
3.
$a = (2, 1, 4), b = (1, 0, 2), c = (1, 1, -1)$ のとき、次を求めよ。
(1) $(a \times b) \times c$
(2) $a \cdot (b \times c)$
4.
次のベクトル関数を微分せよ。また、( ) 内の $t$ の値における微分係数を求めよ。
(1) $a(t) = (t^2, 2\sqrt{t}, e^{2t}) \quad (t=1)$
(2) $b(t) = (2\sqrt{2}\cos t, 2\sin t, \tan t) \quad \left(t = \frac{\pi}{4}\right)$
5.
$a(t) = (1, 2, t^2), ; b(t) = (t^2, 3t, 2)$ のとき、次を求めよ。
(1) $\dfrac{d}{dt}(a \cdot a)$
(2) $\dfrac{d}{dt}(a \cdot b)$
(3) $\dfrac{d}{dt}(a \times b)$
第1章1 「外積」「ベクトル関数」 第2回
1.
$a = (2, 6, 1), ; b = (1, 3, -1)$ のとき、$a \times b$ を求めよ。また、$a, b$ の両方に垂直な単位ベクトルを求めよ。
2.
空間内に3点 $A(1, 1, 1), B(3, 3, 5), C(3, 0, 2)$ がある。このとき、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の両方に垂直な単位ベクトルを求めよ。また、$\triangle ABC$ の面積を求めよ。
3.
$a = (1, -1, -1), ; b = (1, -1, 2), ; c = (4, 1, 1)$ のとき、次を求めよ。
(1) $(2a \times b) \times c$
(2) $a \cdot (2b \times c)$
4.
次のベクトル関数を微分せよ。また、( ) 内の $t$ の値における微分係数を求めよ。
(1) $a(t) = (3t^5, \sqrt{2t}, \log(1+t^2)) \quad (t=1)$
(2) $b(t) = (\sin t, e^{-2t}, 4) \quad (t=0)$
5.
$a(t) = (2t, 5t+3, 2t^2), ; b(t) = (t^2, -1, 3t)$ のとき、次を求めよ。
(1) $\dfrac{d}{dt}(a \cdot a)$
(2) $\dfrac{d}{dt}(a \cdot b)$
(3) $\dfrac{d}{dt}(a \times b)$
# Program Name: vector_calc_ch1_plot_en.py
# Creation Date: 20250822
# Overview: Vector problems (cross product, dot product, differentiation)
# with matplotlib visualization (all in English)
# Usage: Run with Python. It prints results and shows 3D vector plots.
!pip install numpy sympy matplotlib
import numpy as np
import sympy as sp
import matplotlib.pyplot as plt
# ========== Utility functions ==========
def unit_vector(v):
return v / np.linalg.norm(v)
def plot_vectors(vecs, labels, title):
"""Plot 3D vectors from the origin"""
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection="3d")
ax.set_title(title)
ax.set_xlim([-5,5]); ax.set_ylim([-5,5]); ax.set_zlim([-5,5])
ax.set_xlabel("x"); ax.set_ylabel("y"); ax.set_zlabel("z")
for v, l in zip(vecs, labels):
ax.quiver(0,0,0, v[0], v[1], v[2], color=np.random.rand(3,), label=l)
ax.legend()
plt.show()
# ========== Session 1 ==========
print("=== Session 1 ===")
# Problem 1
a1 = np.array([2,-1,4])
b1 = np.array([-1,-3,5])
axb1 = np.cross(a1,b1)
unit1 = unit_vector(axb1)
print("S1-1 a×b =", axb1, " unit vector =", unit1)
plot_vectors([a1,b1,axb1], ["a","b","a×b"], "Session 1-1 Cross product")
# Problem 2
A = np.array([1,2,4]); B = np.array([0,4,3]); C = np.array([3,6,6])
AB, AC = B-A, C-A
nvec = np.cross(AB,AC)
unit2 = unit_vector(nvec)
area = 0.5*np.linalg.norm(nvec)
print("S1-2 unit normal =", unit2, " area =", area)
plot_vectors([AB,AC,nvec], ["AB","AC","Normal"], "Session 1-2 Triangle normal")
# Problem 3
a = np.array([2,1,4]); b = np.array([1,0,2]); c = np.array([1,1,-1])
res31 = np.cross(np.cross(a,b),c)
res32 = np.dot(a,np.cross(b,c))
print("S1-3 (a×b)×c =",res31)
print("S1-3 a·(b×c) =",res32)
# Problem 4 and 5 (symbolic)
t = sp.symbols('t', real=True)
a4 = sp.Matrix([t**2, 2*sp.sqrt(t), sp.exp(2*t)])
b4 = sp.Matrix([2*sp.sqrt(2)*sp.cos(t), 2*sp.sin(t), sp.tan(t)])
print("S1-4 (1) derivative =", sp.diff(a4,t).subs(t,1))
print("S1-4 (2) derivative =", sp.diff(b4,t).subs(t,sp.pi/4))
a5 = sp.Matrix([1,2,t**2])
b5 = sp.Matrix([t**2,3*t,2])
print("S1-5 d/dt(a·a) =", sp.diff(a5.dot(a5),t))
print("S1-5 d/dt(a·b) =", sp.diff(a5.dot(b5),t))
print("S1-5 d/dt(a×b) =", sp.diff(a5.cross(b5),t))
# ========== Session 2 ==========
print("\n=== Session 2 ===")
# Problem 1
a21 = np.array([2,6,1])
b21 = np.array([1,3,-1])
axb21 = np.cross(a21,b21)
unit21 = unit_vector(axb21)
print("S2-1 a×b =", axb21, " unit vector =", unit21)
plot_vectors([a21,b21,axb21], ["a","b","a×b"], "Session 2-1 Cross product")
# Problem 2
A2 = np.array([1,1,1]); B2 = np.array([3,3,5]); C2 = np.array([3,0,2])
AB2, AC2 = B2-A2, C2-A2
nvec2 = np.cross(AB2,AC2)
unit22 = unit_vector(nvec2)
area2 = 0.5*np.linalg.norm(nvec2)
print("S2-2 unit normal =", unit22, " area =", area2)
plot_vectors([AB2,AC2,nvec2], ["AB","AC","Normal"], "Session 2-2 Triangle normal")
# Problem 3
a2 = np.array([1,-1,-1]); b2 = np.array([1,-1,2]); c2 = np.array([4,1,1])
res231 = np.cross(2*a2,b2); res231 = np.cross(res231,c2)
res232 = np.dot(a2,np.cross(2*b2,c2))
print("S2-3 (2a×b)×c =",res231)
print("S2-3 a·(2b×c) =",res232)
# Problem 4 and 5 (symbolic)
a24 = sp.Matrix([3*t**5, sp.sqrt(2*t), sp.log(1+t**2)])
b24 = sp.Matrix([sp.sin(t), sp.exp(-2*t), 4])
print("S2-4 (1) derivative =", sp.diff(a24,t).subs(t,1))
print("S2-4 (2) derivative =", sp.diff(b24,t).subs(t,0))
a25 = sp.Matrix([2*t,5*t+3,2*t**2])
b25 = sp.Matrix([t**2,-1,3*t])
print("S2-5 d/dt(a·a) =", sp.diff(a25.dot(a25),t))
print("S2-5 d/dt(a·b) =", sp.diff(a25.dot(b25),t))
print("S2-5 d/dt(a×b) =", sp.diff(a25.cross(b25),t))
第1章1 「外積」「ベクトル関数」 第3回
1.
$a = (1, -2, 2), ; b = (0, 1, -2)$ のとき、$a \times b$ を求めよ。また、$a, b$ の両方に垂直な単位ベクトルを求めよ。
2.
空間内に3点 $A(4, 7, -3), B(6, 8, 1), C(5, 6, -1)$ がある。このとき、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の両方に垂直な単位ベクトルを求めよ。また、$\triangle ABC$ の面積を求めよ。
3.
$a = (1, 0, -1), ; b = (2, -1, 0), ; c = (1, 1, 2)$ のとき、次を求めよ。
(1) $a \times (3b - c)$
(2) $(a \times b) \cdot c$
4.
次のベクトル関数を微分せよ。また、( ) 内の $t$ の値における微分係数を求めよ。
(1) $a(t) = (6\cos t, -3, 6\sin t) \quad \left( t = \dfrac{\pi}{3} \right)$
(2) $b(t) = (3t, 2\cos t, 2\sin t) \quad \left( t = \dfrac{\pi}{2} \right)$
5.
$a(t) = (t^2, 4t, 1-t), ; b(t) = (t^4, 0, t^5)$ のとき、次を求めよ。
(1) $\dfrac{d a}{dt} \cdot b$
(2) $\dfrac{d}{dt}(a \cdot b)$
(3) $\dfrac{d}{dt}(-b \times a)$
第1章2 「曲線」「曲面」 第1回
例題
曲線 $r = (3\cos t, 3\sin t, \sqrt{7}t)$ について、単位接線ベクトル $t$、$t=0$ から $t=2$ までの曲線の長さ $s$ をそれぞれ求めよ。
解
$$
r' = (-3\sin t, 3\cos t, \sqrt{7}), \quad |r'| = \sqrt{(-3\sin t)^2 + (3\cos t)^2 + (\sqrt{7})^2} = \sqrt{16} = 4
$$
単位接線ベクトル
$$
t = \frac{r'}{|r'|} = \left(-\frac{3}{4}\sin t, \frac{3}{4}\cos t, \frac{\sqrt{7}}{4}\right)
$$
曲線の長さ
$$
s = \int_0^2 |r'|, dt = \int_0^2 4, dt = 8
$$
1.
曲線 $r = (4\sin t, 4\cos t, 12t)$ について、単位接線ベクトル $t$、$t=1$ から $t=2$ までの曲線の長さ $s$ をそれぞれ求めよ。
例題 ベクトル関数
$$
r = (\cos u, \sin u, v) \quad (D: 0 \leq u \leq 2\pi, , 0 \leq v \leq 2)
$$
で表される曲面について、次を求めよ。
(1) $\dfrac{\partial r}{\partial u} \times \dfrac{\partial r}{\partial v}$
(2) $\left| \dfrac{\partial r}{\partial u} \times \dfrac{\partial r}{\partial v} \right|$
(3) 単位法線ベクトル $n$
(4) 曲面の面積 $S$
解
(1)
$$
\dfrac{\partial r}{\partial u} \times \dfrac{\partial r}{\partial v}
= (-\sin u, \cos u, 0) \times (0, 0, 1)
= (\cos u, \sin u, 0)
$$
(2)
$$
\left| \dfrac{\partial r}{\partial u} \times \dfrac{\partial r}{\partial v} \right|
= \sqrt{\cos^2 u + \sin^2 u + 0^2} = 1
$$
(3)
$$
n = \pm \frac{\dfrac{\partial r}{\partial u} \times \dfrac{\partial r}{\partial v}}{\left|\dfrac{\partial r}{\partial u} \times \dfrac{\partial r}{\partial v}\right|}
= (\pm \cos u, \pm \sin u, 0) \quad (\text{複号同順})
$$
(4)
$$
S = \iint_D \left| \dfrac{\partial r}{\partial u} \times \dfrac{\partial r}{\partial v} \right| dudv
= \int_0^{2\pi} \left{ \int_0^2 dv \right} du
= \int_0^{2\pi} 2, du = 4\pi
$$
2.
ベクトル関数
$$
r = (\cos u, \sin u, v^2) \quad (D: 0 \leq u \leq 2\pi, , 0 \leq v \leq 2)
$$
で表される曲面について、次を求めよ。
(1) $\dfrac{\partial r}{\partial u} \times \dfrac{\partial r}{\partial v}$
(2) $\left| \dfrac{\partial r}{\partial u} \times \dfrac{\partial r}{\partial v} \right|$
(3) 単位法線ベクトル $n$
(4) 曲面の面積 $S$
# Program Name: vector_ch1_ch2_plot.py
# Creation Date: 20250822
# Overview: Solve vector problems (cross product, dot product, differentiation, curve tangent, surface normal)
# with matplotlib 3D visualization.
# Usage: Run with Python. It prints results and shows 3D vector/curve/surface plots.
!pip install numpy sympy matplotlib
import numpy as np
import sympy as sp
import matplotlib.pyplot as plt
# ========= Utility =========
def unit_vector(v):
return v / np.linalg.norm(v)
def plot_vectors(vecs, labels, title):
"""3D vector plot from origin"""
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection="3d")
ax.set_title(title)
ax.set_xlim([-5,5]); ax.set_ylim([-5,5]); ax.set_zlim([-5,5])
ax.set_xlabel("x"); ax.set_ylabel("y"); ax.set_zlabel("z")
for v, l in zip(vecs, labels):
ax.quiver(0,0,0, v[0], v[1], v[2], color=np.random.rand(3,), label=l)
ax.legend()
plt.show()
# ========= Chapter 1, Session 3 =========
print("=== Chapter 1, Session 3 ===")
# Problem 1
a1 = np.array([1,-2,2]); b1 = np.array([0,1,-2])
axb1 = np.cross(a1,b1)
unit1 = unit_vector(axb1)
print("S3-1 a×b =", axb1, " unit vector =", unit1)
plot_vectors([a1,b1,axb1], ["a","b","a×b"], "Session 3-1 Cross product")
# Problem 2
A = np.array([4,7,-3]); B = np.array([6,8,1]); C = np.array([5,6,-1])
AB, AC = B-A, C-A
nvec = np.cross(AB,AC)
unit2 = unit_vector(nvec)
area = 0.5*np.linalg.norm(nvec)
print("S3-2 unit normal =", unit2, " area =", area)
plot_vectors([AB,AC,nvec], ["AB","AC","Normal"], "Session 3-2 Triangle normal")
# Problem 3
a = np.array([1,0,-1]); b = np.array([2,-1,0]); c = np.array([1,1,2])
res31 = np.cross(a,3*b-c)
res32 = np.dot(np.cross(a,b),c)
print("S3-3 a×(3b-c) =",res31)
print("S3-3 (a×b)·c =",res32)
# Problem 4
t = sp.symbols('t', real=True)
a4 = sp.Matrix([6*sp.cos(t), -3, 6*sp.sin(t)])
b4 = sp.Matrix([3*t, 2*sp.cos(t), 2*sp.sin(t)])
print("S3-4 (1) derivative =", sp.diff(a4,t).subs(t,sp.pi/3))
print("S3-4 (2) derivative =", sp.diff(b4,t).subs(t,sp.pi/2))
# Problem 5
a5 = sp.Matrix([t**2, 4*t, 1-t])
b5 = sp.Matrix([t**4, 0, t**5])
print("S3-5 (da/dt)·b =", a5.diff(t).dot(b5))
print("S3-5 d/dt(a·b) =", sp.diff(a5.dot(b5),t))
print("S3-5 d/dt(-b×a) =", sp.diff(-(b5.cross(a5)),t))
# ========= Chapter 2, Session 1 =========
print("\n=== Chapter 2, Session 1 ===")
# Example curve
r = sp.Matrix([3*sp.cos(t), 3*sp.sin(t), sp.sqrt(7)*t])
rprime = r.diff(t)
mag = sp.sqrt(rprime.dot(rprime))
tangent = rprime/mag
arc = sp.integrate(mag,(t,0,2))
print("Example curve tangent vector =", tangent)
print("Example curve length (0→2) =", arc)
# Problem 1 curve
r1 = sp.Matrix([4*sp.sin(t), 4*sp.cos(t), 12*t])
r1prime = r1.diff(t)
mag1 = sp.sqrt(r1prime.dot(r1prime))
tangent1 = r1prime/mag1
arc1 = sp.integrate(mag1,(t,1,2))
print("S2-1 tangent vector =", tangent1)
print("S2-1 length (1→2) =", arc1)
# Plot curve
tt = np.linspace(0,2,100)
x = 4*np.sin(tt); y = 4*np.cos(tt); z = 12*tt
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection="3d")
ax.plot(x,y,z,label="Curve r(t)")
ax.set_title("Chapter 2-1 Curve")
ax.set_xlabel("x"); ax.set_ylabel("y"); ax.set_zlabel("z")
ax.legend()
plt.show()
# Example surface
u,v = sp.symbols('u v', real=True)
r2 = sp.Matrix([sp.cos(u), sp.sin(u), v])
ru = r2.diff(u); rv = r2.diff(v)
cross_ex = ru.cross(rv)
print("Surface example (ru×rv) =", cross_ex)
print("|ru×rv| =", sp.sqrt(cross_ex.dot(cross_ex)))
print("Unit normal =", cross_ex/sp.sqrt(cross_ex.dot(cross_ex)))
S_ex = sp.integrate(sp.integrate(sp.sqrt(cross_ex.dot(cross_ex)),(v,0,2)),(u,0,2*sp.pi))
print("Surface area =", S_ex)
# Problem 2 surface
r3 = sp.Matrix([sp.cos(u), sp.sin(u), v**2])
ru3 = r3.diff(u); rv3 = r3.diff(v)
cross3 = ru3.cross(rv3)
print("S2-2 (ru×rv) =", cross3)
print("|ru×rv| =", sp.sqrt(cross3.dot(cross3)))
print("Unit normal =", cross3/sp.sqrt(cross3.dot(cross3)))
S3 = sp.integrate(sp.integrate(sp.sqrt(cross3.dot(cross3)),(v,0,2)),(u,0,2*sp.pi))
print("Surface area =", S3)
第1章2 「曲線」「曲面」 第2回
1.
曲線
$$
r = (2\sin t, ; 2\cos t, ; 2\sqrt{3}t)
$$
について、単位接線ベクトル $t$、$t=0$ から $t=3$ までの曲線の長さ $s$ をそれぞれ求めよ。
2.
曲線
$$
r = \left(\frac{t^2}{2}, ; t, ; \log\sqrt{2t}\right)
$$
について、単位接線ベクトル $t$、$t=\tfrac{1}{2}$ から $t=2$ までの曲線の長さ $s$ をそれぞれ求めよ。
3.
ベクトル関数
$$
r = (\cos u, ; \sin u, ; 2v)
\quad (D : 0 \leq u \leq 2\pi, ; 0 \leq v \leq 4)
$$
で表される曲面について、次を求めよ。
(1) $\dfrac{\partial r}{\partial u} \times \dfrac{\partial r}{\partial v}$
(2) $\left| \dfrac{\partial r}{\partial u} \times \dfrac{\partial r}{\partial v} \right|$
(3) 単位法線ベクトル $n$
(4) 曲面の面積 $S$
第1章3 「勾配」「発散」「回転」 第1回
例題
スカラー場 $\varphi = x y^3 + 6x y^2 z$ と点 $P(-1,1,0)$ について、次を求めよ。
(1) $\varphi$ の勾配 $\nabla \varphi$ および $|\nabla \varphi|$
(2) 点 $P$ における $a = (1,1,1)$ の方向への方向微分係数
解
(1)
$$
\nabla \varphi = \left(\frac{\partial \varphi}{\partial x}, \frac{\partial \varphi}{\partial y}, \frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)
= (y^3 + 12xy z, ; 3xy^2 + 12xz, ; 6xy^2)
$$
$$
\nabla \varphi|_{P} = (1, -6, 0), \quad |\nabla \varphi| = \sqrt{1^2 + (-6)^2 + 0^2} = \sqrt{37}
$$
(2)
$$
(\nabla \varphi) \cdot \frac{a}{|a|} = (1, -6, 0) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)
= \frac{1}{\sqrt{3}}(1 - 6 + 0) = \frac{-5}{\sqrt{3}}
$$
1.
スカラー場 $\varphi = 2x^2 - 3y^2 + 5z^2$ と点 $P(2,0,-1)$ について、次を求めよ。
(1) $\varphi$ の勾配 $\nabla \varphi$ および $|\nabla \varphi|$
(2) 点 $P$ における $a = (1,1,1)$ の方向への方向微分係数
2.
次のベクトル場の発散 $\nabla \cdot a$、$\nabla \cdot b$ と回転 $\nabla \times a$、$\nabla \times b$ をそれぞれ求めよ。
(1) $a = (x^2 y^2, -4xy z^2, x^3 y + x y^3)$
(2) $b = (e^x, -e^z, -e^y)$
3.
$a = (x^2 y, 2z^2 x^2, y z^3)$ のとき、次を求めよ。
(1) $\nabla \cdot (\nabla \times a)$
(2) $\nabla \cdot (\nabla \times a)$
(3) $\nabla \times (\nabla \times a)$
4.
スカラー場 $\varphi = x^2 y^2 z^2 + x^2 y + y z^2 + z^2$ について、$\nabla^2 \varphi$ を求めよ。
第1章3 「勾配」「発散」「回転」 第2回
例題
スカラー場 $\varphi = xy z^3 + 6x^2 y$ と点 $P=(-1,1,0)$ について、点 $P$ における方向微分係数 $(\nabla \varphi)_p \cdot n$ が最大となる単位ベクトル $n$ を求めよ。
解
$$
\nabla \varphi = \left(\frac{\partial \varphi}{\partial x}, \frac{\partial \varphi}{\partial y}, \frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)
= (yz^3 + 12xy, ; xz^3 + 6x^2, ; 3xy z^2)
$$
よって
$$
(\nabla \varphi)_p = (-12,6,0)
$$
方向微分係数が最大となる単位ベクトル $n$ の向きは $(\nabla \varphi)_p$ と同じであるから、$(\nabla \varphi)_p$ をその大きさ $|(\nabla \varphi)_p|$ で割ることで単位ベクトルになる。
$$
|(\nabla \varphi)_p| = \sqrt{(-12)^2 + 6^2 + 0^2} = 6\sqrt{5}
$$
したがって
$$
n = \frac{1}{|(\nabla \varphi)_p|} (\nabla \varphi)_p
= \frac{1}{6\sqrt{5}} (-12,6,0)
= \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}, 0\right)
$$
1.
スカラー場 $\varphi = 2x^2 - 3y^2 + 5z^2$ と点 $P=(2,0,-1)$ について、点 $P$ における方向微分係数 $(\nabla \varphi)_p \cdot n$ が最大となる単位ベクトル $n$ を求めよ。
2.
次のベクトル場の発散 $\nabla \cdot a, ; \nabla \cdot b$ と回転 $\nabla \times a, ; \nabla \times b$ をそれぞれ求めよ。
(1) $a = (xyz, 0, 0)$
(2) $b = (e^x, z, -e^{-z})$
3.
$a = (x^2 y, -2xz, yz^2)$ のとき、次を求めよ。
(1) $\nabla \cdot (\nabla \cdot a)$
(2) $\nabla \cdot (\nabla \times a)$
(3) $\nabla \times (\nabla \times a)$
4.
スカラー場 $\varphi = x^2 y^2 + y^2 z^2 + z^2 x^2$ について、$\nabla^2 \varphi$ を求めよ。
第1章3 「勾配」「発散」「回転」 第3回
1.
スカラー場 $\varphi = xy z^2 + 4z^2$ と点 $P=(-1,2,1)$ について、次を求めよ。
(1) $\varphi$ の勾配 $\nabla \varphi$ および $|\nabla \varphi|_p$
(2) 点 $P$ における $a=(1,2,2)$ の方向への方向微分係数
(3) 点 $P$ における方向微分係数 $(\nabla \varphi)_p \cdot n$ が最大となる単位ベクトル $n$
2.
次のベクトル場の発散 $\nabla \cdot a, ; \nabla \cdot b$ と回転 $\nabla \times a, ; \nabla \times b$ をそれぞれ求めよ。
(1) $a = (x z^2, -4yz, 6y z^2)$
(2) $b = (e^{2x}, xy^2, e^z)$
3.
$\varphi = x^2 y - 2y z^2 + 4x^2 z$ のとき、次を求めよ。
(1) $\nabla \cdot (\nabla \varphi)$
(2) $\nabla \cdot (\nabla (\nabla \varphi))$
(3) $\nabla \times (\nabla \varphi)$
4.
スカラー場 $\varphi = x^2 y^2 z - 4xyz$ について、$\nabla^2 \varphi$ を求めよ。
第1章4 「スカラー場、ベクトル場の線積分、面積分」 第1回
1.
曲線
$$
C : r(t) = (t^3, \tfrac{\sqrt{6}}{2} t^2, t), \quad (0 \leq t \leq 1)
$$
に沿う線積分
$$
\int_C (x+z) ds \quad および \quad \int_C (x+z) dy
$$
の値を求めよ。
2.
曲線
$$
C : r(t) = (t, 4t, t^2), \quad (0 \leq t \leq 1)
$$
に沿うベクトル場
$$
a = (yz, 2x, x+y+z)
$$
の線積分
$$
\int_C a \cdot dr
$$
の値を求めよ。
3.
ベクトル関数
$$
r(u,v) = (\cos u, \sin u, 2v), \quad (D : 0 \leq u \leq 2\pi, ; 0 \leq v \leq 2)
$$
で表される曲面 $S$ について、スカラー場 $\varphi = x^2 + y^2 + z$ の $S$ 上の面積分
$$
\iint_S \varphi , dS
$$
の値を求めよ。
4.
ベクトル関数
$$
r(u,v) = (u, v, 1 - u^2), \quad (D : 0 \leq u \leq 1, ; 0 \leq v \leq 1)
$$
の表す曲面を $S$ とし、$S$ の単位法線ベクトル $n$ の $z$ 成分を正にとるとき、ベクトル場
$$
a = (2x, -y, y+z)
$$
の $S$ 上の面積分
$$
\iint_S a \cdot n , dS
$$
の値を求めよ。
第1章4 「スカラー場、ベクトル場の線積分、面積分」 第2回
1.
曲線
$$
C : r(t) = (2t, 3t^2, 3t^3), \quad (-1 \leq t \leq 1)
$$
に沿う線積分
$$
\int_C (x+y) ds \quad および \quad \int_C (x+y) dx
$$
の値を求めよ。
2.
曲線
$$
C : r(t) = (5t^2, 3t, 4t), \quad (-1 \leq t \leq 1)
$$
に沿うベクトル場
$$
a = (xy, yz, zx)
$$
の線積分
$$
\int_C a \cdot dr
$$
の値を求めよ。
3.
ベクトル関数
$$
r(u,v) = (4, 2u, 2v), \quad (D : 1 \leq u \leq 2, ; 0 \leq v \leq 1)
$$
で表される曲面 $S$ について、スカラー場
$$
\varphi = xyz
$$
の $S$ 上の面積分
$$
\iint_S \varphi , dS
$$
の値を求めよ。
4.
ベクトル関数
$$
r(u,v) = (u,v, 1-u^2-v^2), \quad (D : 0 \leq u \leq 1, ; -1 \leq v \leq 1)
$$
の表す曲面を $S$ とし、$S$ の単位法線ベクトル $n$ の $z$ 成分を正にとるとき、ベクトル場
$$
a = (2x, 2y, x+y)
$$
の $S$ 上の面積分
$$
\iint_S a \cdot n , dS
$$
の値を求めよ。
第1章4 「スカラー場、ベクトル場の線積分、面積分」 第2回
1.
曲線
$$
C : r(t) = (2t, 3t^2, 3t^3), \quad (-1 \leq t \leq 1)
$$
に沿う線積分
$$
\int_C (x+y),ds \quad および \quad \int_C (x+y),dx
$$
の値を求めよ。
2.
曲線
$$
C : r(t) = (5t^2, 3t, 4t), \quad (-1 \leq t \leq 1)
$$
に沿うベクトル場
$$
a = (xy, yz, zx)
$$
の線積分
$$
\int_C a \cdot dr
$$
の値を求めよ。
3.
ベクトル関数
$$
r(u,v) = (4, 2u, 2v), \quad (D : 1 \leq u \leq 2, ; 0 \leq v \leq 1)
$$
で表される曲面 $S$ について、スカラー場
$$
\varphi = xyz
$$
の $S$ 上の面積分
$$
\iint_S \varphi , dS
$$
の値を求めよ。
4.
ベクトル関数
$$
r(u,v) = (u, v, 1 - u^2 - v^2), \quad (D : 0 \leq u \leq 1, ; -1 \leq v \leq 1)
$$
の表す曲面を $S$ とし、$S$ の単位法線ベクトル $n$ の $z$ 成分を正にとるとき、ベクトル場
$$
a = (2x, 2y, x+y)
$$
の $S$ 上の面積分
$$
\iint_S a \cdot n , dS
$$
の値を求めよ。
第1章4 「スカラー場、ベクトル場の線積分、面積分」 第3回
1.
次のベクトル関数で表される曲線 $C_1, C_2$ がある。
$$
C_1 : r(t) = (t, t, 0), \quad (0 \leq t \leq 1),
\quad C_2 : r(t) = (1, 1, t), \quad (0 \leq t \leq 1)
$$
線積分
$$
\int_{C_1 + C_2} (xy + z^2) , ds
$$
の値を求めよ。
2.
次のベクトル関数で表される曲線 $C_1, C_2$ がある。
$$
C_1 : r(t) = (t, 0, 0), \quad (-1 \leq t \leq 1),
\quad C_2 : r(t) = (2\cos t, 2\sin t, 0), \quad (0 \leq t \leq \tfrac{\pi}{2})
$$
ベクトル場
$$
a = (4x, 6y, z)
$$
について、次の線積分の値を求めよ。
(1) $\int_{-C_1} a \cdot dr$
(2) $\int_{C_1 + C_2} a \cdot dr$
3.
ベクトル関数
$$
r(u,v) = (u, v, 1 - u - v), \quad (D : 0 \leq u \leq 1, ; 0 \leq v \leq 1)
$$
で表される曲面 $S$ について、スカラー場
$$
\varphi = x + 2y + 3z
$$
の $S$ 上の面積分
$$
\iint_S \varphi , dS
$$
の値を求めよ。
4.
ベクトル関数
$$
r(u,v) = (u, v, 1 - u - v), \quad (D : 0 \leq u \leq 1, ; 0 \leq v \leq 1 - u)
$$
の表す曲面を $S$ とし、$S$ の単位法線ベクトル $n$ の $z$ 成分を正にとるとき、ベクトル場
$$
a = (2x, -y, z)
$$
の $S$ 上の面積分
$$
\iint_S a \cdot n , dS
$$
の値を求めよ。
第1章5 「グリーンの定理」「ストークスの定理」 第1回
例題1
$C$ を xy 平面上の原点 O と2点 (1,0), (0,1) を順に結んでできる三角形の周とする。このとき、次の線積分を2重積分に直してその値を求めよ。
$$
\int_C {(xy+y^2)dx + (8x^2 - 4xy)dy}
$$
解
三角形の周 C によって囲まれた領域を D とする。C の向きは、D を左側に見ながら1周する向きとする。
グリーンの定理より
$$
\int_C {(xy+y^2)dx + (8x^2 - 4xy)dy}
= \iint_D \left(\frac{\partial}{\partial x}(8x^2 - 4xy) - \frac{\partial}{\partial y}(xy+y^2)\right) dxdy
= \iint_D (15x - 6y)dxdy
$$
$$
= \int_0^1 \int_0^{1-x} (15x - 6y)dy dx = \frac{3}{2}
$$
1.
$C$ を xy 平面上の原点 O と2点 (1,0), (0,1) を順に結んでできる三角形の周とする。このとき、次の線積分を2重積分に直してその値を求めよ。
$$
\int_C {(-4xy - 5y^2 + x)dx + (-4x^2 + 6xy + 3)dy}
$$
例題2
$S$ を半球面 $x^2+y^2+z^2=4 \ (z \geq 0)$ とし、S の単位法線ベクトル $n$ は球面から外向きをとる。
S の境界を $C: r(t) = (2\cos t, 2\sin t, 0) \ (0 \leq t \leq 2\pi)$ とするとき、ベクトル場 $a=(x+z, x+y, z^2)$ について、
$$
\iint_S (\nabla \times a)\cdot n , dS
$$
を求めよ。
解
C 上で
$$
r = (2\cos t, 2\cos t + \sin t, 0), \quad \frac{dr}{dt} = (-2\sin t, 2\cos t, 0)
$$
ストークスの定理より
$$
\iint_S (\nabla \times a)\cdot n , dS = \int_C a \cdot dr = \int_0^{2\pi} a(r(t)) \cdot \frac{dr}{dt} dt
$$
$$
= \int_0^{2\pi} (1+\cos 2t) dt = [t + \tfrac{1}{2}\sin 2t]_0^{2\pi} = 2\pi
$$
2.
$S$ を曲面 $z = 4 - x^2 - y^2 \ (z \geq 0)$ とし、S の単位法線ベクトル $n$ の向きは、その z 成分が正であるものの外向きを取るようにする。
S の境界 C を $r(t) = (2\cos t, 2\sin t, 0) \ (0 \leq t \leq 2\pi)$ とするとき、ベクトル場 $a = (-y, x^2, 3xz)$ について、
$$
\iint_S (\nabla \times a)\cdot n , dS
$$
を求めよ。
第1章5 「グリーンの定理」「ストークスの定理」 第2回
1.
C を xy 平面上の3点 (1,0), (1,1), (0,1) を順に結んで O にもどる正方形の周とする。このとき、次の線積分を2重積分に直してその値を求めよ。
$$
\int_C {(2xy+4)dx + (3x^2 - xy)dy}
$$
2.
C を xy 平面上の原点を中心とする半径1の円とする。このとき、次の線積分を2重積分に直してその値を求めよ。
$$
\int_C {(x-2y)dx + (4x+y)dy}
$$
3.
S を半球面 $x^2+y^2+z^2=1 \ (z \geq 0)$ とし、S の単位法線ベクトル $n$ は球面から外向きをとる。
S の境界を $C: r(t)=(\cos t, \sin t, 0) \ (0 \leq t \leq 2\pi)$ とするとき、ベクトル場 $a=(2y, 3x, 4z)$ について
$$
\iint_S (\nabla \times a)\cdot n , dS
$$
を求めよ。
4.
S を球面 $x^2+y^2+z^2=5 \ の z \geq 1$ の部分とし、S の単位法線ベクトル $n$ は球面から外向きをとる。
S の境界を $C: r(t) = (2\cos t, 2\sin t, 1) \ (0 \leq t \leq 2\pi)$ とするとき、ベクトル場
$$
a = (-y z, \tfrac{1}{2} yz, xy)
$$
について、
$$
\iint_S (\nabla \times a)\cdot n , dS
$$
を求めよ。
第1章5 「グリーンの定理」「ストークスの定理」 第3回
1.
曲線 $y=x, , y=x^2$ で囲まれた xy 平面上の領域 D の周を C とする。このとき、次の線積分を2重積分に直してその値を求めよ。
$$
\int_C {(xy+1)dx + (x^2+y^2)dy}
$$
2.
xy 平面上において、$0 \leq x \leq 1, , y \geq 0, , y^2 \leq x$ で表される領域 D の境界を C とする。このとき、線積分
$$
\int_C {(x^2 - 2xy)dx + (x^2 y + 3)dy}
$$
の値をグリーンの定理を用いて求めよ。
例題
原点 O と2点 (1,0,0), (1,1,0) を順に結んで O にもどる三角形の周 C とする。このとき、ベクトル場
$$
a = (x^2+y, , x^2+2z, , 2y)
$$
について、線積分
$$
\int_C a \cdot dr
$$
の値をストークスの定理を用いて求めよ。
解
C で囲まれた領域を S とし、S の単位法線ベクトルを n とする。ストークスの定理より
$$
I = \int_C a \cdot dr = \iint_S (\nabla \times a)\cdot n , dS
$$
ここで
$$
n = k = (0,0,1)
$$
だから
$$
(\nabla \times a)\cdot n = (0,0,2x-1)\cdot k = 2x-1
$$
また、領域 S は
$$
0 \leq x \leq 1, , 0 \leq y \leq x
$$
で表されるから
$$
I = \int_0^1 \int_0^x (2x-1)dy dx = \int_0^1 (2x-1)x dx = \left[\tfrac{2}{3}x^3 - \tfrac{1}{2}x^2\right]_0^1 = \tfrac{1}{6}
$$
3.
原点 O と2点 (1,0,0), (2,0,0) を順に結んで O にもどる三角形の周 C とする。このとき、ベクトル場
$$
a = (x-y, , 4y+2x, , 4xy)
$$
について、線積分
$$
\int_C a \cdot dr
$$
の値をストークスの定理を用いて求めよ。
第1章6 「ガウスの発散定理」 第1回
例題1
平面 $x=0, , x=1, , y=0, , y=2, , z=0, , z=4$ で囲まれる立体 V の表面を S とするとき、ベクトル場
$$
a=(xz, , x+2y, , yz)
$$
の S 上の面積分
$$
\iint_S a \cdot n , dS
$$
の値を求めよ。ただし、S の単位法線ベクトル n は S の外側を向くものとする。
解
ガウスの発散定理より
$$
\iint_S a \cdot n , dS = \iiint_V \nabla \cdot a , dV
$$
ここで
$$
\nabla \cdot a = \frac{\partial}{\partial x}(xz) + \frac{\partial}{\partial y}(x+2y) + \frac{\partial}{\partial z}(yz) = z + 2 + y
$$
したがって
$$
\iiint_V \nabla \cdot a , dV = \int_0^1 \int_0^2 \int_0^4 (z+2+y)dz dy dx
= \int_0^1 \int_0^2 \left[\tfrac{1}{2}z^2+(2+y)z\right]_{0}^{4} dy dx
$$
$$
= \int_0^1 \int_0^2 (8+8+4y)dy dx
= \int_0^1 \int_0^2 (16+4y)dy dx
= 40
$$
1.
平面 $x=0, x=1, y=0, y=1, z=0, z=2$ で囲まれる立体 V の表面を S とするとき、ベクトル場
$$
a = (xz^3, , 2x+3y, , 4yz)
$$
の S 上の面積分
$$
\iint_S a \cdot n , dS
$$
の値を求めよ。ただし、S の単位法線ベクトル n は S の外側を向くものとする。
例題2
原点 O と3点 (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) を頂点とする三角錐 V の表面を S とするとき、ベクトル場
$$
a = (x-2xz, , y-2yz, , z^2 - xy)
$$
の S 上の面積分
$$
\iint_S a \cdot n , dS
$$
の値を求めよ。ただし、S の単位法線ベクトル n は S の外側を向くものとする。
解
ガウスの発散定理より
$$
\iint_S a \cdot n , dS = \iiint_V \nabla \cdot a , dV
$$
$$
\nabla \cdot a = \frac{\partial}{\partial x}(x-2xz)+\frac{\partial}{\partial y}(y-2yz)+\frac{\partial}{\partial z}(z^2-xy)
= (1-2z)+(1-2z)+(2z)+(-x)=2
$$
したがって
$$
\iiint_V \nabla \cdot a , dV = 2 \cdot V の体積 = 2 \cdot \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{3}
$$
2.
原点 O と3点 (1,0,0), (0,1,0), (0,0,2) を頂点とする三角錐 V の表面を S とするとき、ベクトル場
$$
a = (3x-4xz, , 3y-4yz, , 4z^2+x^2 y^2)
$$
の S 上の面積分
$$
\iint_S a \cdot n , dS
$$
の値を求めよ。ただし、S の単位法線ベクトル n は S の外側を向くものとする。
はい、両方の画像を文字起こししました。
1.
平面 $x=0, x=2, y=0, y=1, z=0, z=3$ で囲まれる立体 V の表面を S とするとき、ベクトル場
$$
a = (4x+3z, ; 2xy, ; 2z^2)
$$
の S 上の面積分
$$
\iint_S a \cdot n , dS
$$
の値を求めよ。ただし、S の単位法線ベクトル $n$ は S の外側を向くものとする。
2.
原点 O と3点 (1,0,0), (0,1,0), (0,0,3) を頂点とする三角錐 V の表面を S とするとき、ベクトル場
$$
a = (2x(1-2y), ; 2y-3y^2, ; 10yz)
$$
の S 上の面積分
$$
\iint_S a \cdot n , dS
$$
の値を求めよ。ただし、S の単位法線ベクトル $n$ は S の外側を向くものとする。
例題
原点 O を中心とする半径1の球面を S とし、球面 S に囲まれた立体 V の体積を V とする。このとき、ベクトル場
$$
a = (3x, ; 2y, ; y+5z)
$$
の S 上の面積分
$$
\iint_S a \cdot n , dS
$$
の値をガウスの発散定理を用いて求めよ。ただし、S の単位法線ベクトル $n$ は S の外側を向くものとする。
解
ガウスの発散定理より
$$
\iint_S a \cdot n , dS = \iiint_V \nabla \cdot a , dV
$$
ここで
$$
\nabla \cdot a = \frac{\partial}{\partial x}(3x) + \frac{\partial}{\partial y}(2y) + \frac{\partial}{\partial z}(y+5z) = 3+2+5=10
$$
したがって
$$
\iiint_V \nabla \cdot a , dV = \int_V 10 , dV = 10 \times V
$$
$$
= 10 \times \frac{4}{3}\pi (1^3) = \frac{40}{3}\pi
$$
3.
原点 O を中心とする半径2の球面を S とし、球面 S に囲まれた立体 V を V とする。このとき、ベクトル場
$$
a = (-x, ; y+x, ; z)
$$
の S 上の面積分
$$
\iint_S a \cdot n , dS
$$
の値をガウスの発散定理を用いて求めよ。ただし、S の単位法線ベクトル $n$ は S の外側を向くものとする。
第1章6 「ガウスの発散定理」 第3回
1.
平面 $x=0, x=1, y=0, y=2, z=0, z=4$ で囲まれる立体 V の表面を S とするとき、ベクトル場
$$
a = (xy, ; x+2yz, ; zx^3)
$$
の S 上の面積分
$$
\iint_S a \cdot n , dS
$$
の値を求めよ。ただし、S の単位法線ベクトル $n$ は S の外側を向くものとする。
2.
原点 O と3点 (2,0,0), (0,3,0), (0,0,4) を頂点とする三角錐 V の表面を S とするとき、ベクトル場
$$
a = (2x-3xyz, ; 4y+y^2, ; \tfrac{1}{2}y z^2)
$$
の S 上の面積分
$$
\iint_S a \cdot n , dS
$$
の値を求めよ。ただし、S の単位法線ベクトル $n$ は S の外側を向くものとする。
3.
原点 O を中心とする半径3の球面を S とし、球面 S に囲まれた立体 V を V とする。このとき、ベクトル場
$$
a = (x^2+4x, ; -2xy+4yz, ; -z^2)
$$
の S 上の面積分
$$
\iint_S a \cdot n , dS
$$
の値をガウスの発散定理を用いて求めよ。ただし、S の単位法線ベクトル $n$ は S の外側を向くものとする。
4.
平面 $x=0, y=0, z=0$ とベクトル関数
$$
r=(u, v, \sqrt{1-u^2-v^2}), \quad (D : 0 \leq u \leq 1, 0 \leq v \leq 1)
$$
で表される曲面で囲まれた立体 V の表面を S とするとき、ベクトル場
$$
a = (3x, ; 2y, ; y+5z)
$$
の S 上の面積分
$$
\iint_S a \cdot n , dS
$$
の値をガウスの発散定理を用いて求めよ。ただし、S の単位法線ベクトル $n$ は S の外側を向くものとする。