概要
等比数列の和の公式の証明を2つ与える．後者の方がスマートである．
詳細
初項 $a$，公比 $r$ の等比数列の第 $n$ 項までの和は
\sum_{k=1}^nar^{k-1}=\frac{a(r^n-1)}{r-1}
である．ただし $r\neq1$ とする．
証明1
上記の等式を(A)とする．
$a=0$ のとき(A)の両辺はともに $0$ となり，成り立つ．
$a\neq0$ のとき，(A)の両辺を $a$ で割ると
\sum_{k=1}^nr^{k-1}=\frac{r^n-1}{r-1}
である．以下，この等式(B)が成り立つことを数学的帰納法を用いて示す．
[1] $n=1$ のとき(B)の両辺はともに $1$ となり，成り立つ．
[2] $n=m$ のとき(B)が成り立つと仮定する．このとき
\begin{align}
\sum_{k=1}^{m+1}r^{k-1}
&=\sum_{k=1}^mr^{k-1}+r^m \\
&=\frac{r^m-1}{r-1}+r^m \\
&=\frac{(r^m-1)+r^m(r-1)}{r-1} \\
&=\frac{r^m\{1+(r-1)\}-1}{r-1} \\
&=\frac{r^{m+1}-1}{r-1} \\
\end{align}
となり，$n=m+1$ のときも(B)が成り立つ．
[1]，[2]より，すべての $n=1,2,\cdots$ に対して(B)は成り立つ．従って，(A)も成り立つ．
証明2
上記の等式を(A)とする．
$a=0$ のとき(A)の両辺はともに $0$ となり，成り立つ．
$a\neq0$ のとき，(A)の両辺を $a$ で割ると
\sum_{k=1}^nr^{k-1}=\frac{r^n-1}{r-1}
である．この等式が成り立つことを示せばよいが，
(r-1)\sum_{k=1}^nr^{k-1}=\sum_{k=1}^n(r^k-r^{k-1})=r^n-1
であるから，$r\neq1$ より従う．