主張
$(X,d)$ を可分距離空間，$A$ を $X$ の部分集合とする．このとき，$A$ は相対位相に関して可分である．
記号
$r>0, x\in X$ に対して $B_r(x)=\{y\in X\mid d(x,y)<r\}$ と定める．
証明
$E$ を $X$ の可算稠密部分集合とする．このとき $\mathcal{B}=\{B_{\frac{1}{n}}(e):n=1,2,\cdots;e\in E\}$ は可算であり，かつ任意の $x\in X$ および $x$ を要素に持つ $X$ の開集合 $U$ に対して $x\in B_{\frac{1}{n}}(e)\subseteq U$ を満たす $B_{\frac{1}{n}}(e)\in\mathcal{B}$ が存在する．
（∵）任意の $x\in X$ および $x$ を要素に持つ $X$ の開集合 $U$ に対して，開集合の定義より，$x\in B_r(x)\subseteq U$ を満たす $r>0$ が存在する．よって，特に $rN>1$ を満たす $N\in\mathbb{N}$ に対して $x\in B_\frac{1}{N}(x)\subseteq U$ が成り立つ．一方，$E$ は $X$ の稠密部分集合であるから $E\cap B_\frac{1}{2N}(x)\neq\varnothing$ である．そこで，$e\in E\cap B_\frac{1}{2N}(x)$ をひとつ選ぶと $d(e,x)<\frac{1}{2N}$ より $x\in B_\frac{1}{2N}(e)$ である．さらに，任意の $y\in B_\frac{1}{2N}(e)$ に対して
d(x,y)\leq d(x,e)+d(e,y)<\frac{1}{2N}+\frac{1}{2N}=\frac{1}{N}<r
より $y\in B_r(x)\subseteq U$ すなわち $y\in U$ である．よって $x\in B_\frac{1}{2N}(e)\subseteq U$ が成り立つ．
そこで $\mathcal{B} _A=\{B\cap A:B\in\mathcal{B}\}$ と定めると，$\mathcal{B} _A$ は可算であり，かつ任意の $a\in A$ および $a$ を要素に持つ $A$ の開集合 $U\cap A$ に対して $a\in B _a\subseteq U\cap A$ を満たす $B _a\in\mathcal{B} _A$ が存在する．
（∵）$a\in U$ より $a\in B_{\frac{1}{n}}(e)\subseteq U$ を満たす $B_{\frac{1}{n}}(e)\in\mathcal{B}$ が存在し，このとき $a\in B_{\frac{1}{n}}(e)\cap A\subseteq U\cap A$ である．
空でない各 $B\in\mathcal{B} _A$ に対して $a _B\in B$ をひとつ選び，$D=\{a _B:B\in\mathcal{B} _A\}$ とおく．このとき，$D$ は $A$ の可算稠密部分集合である．
（∵）任意の $a\in A$ および $n\in\mathbb{N}$ に対して $a\in B_a^{(n)}\subseteq B_\frac{1}{n}(a)\cap A$ を満たす $B_a^{(n)}\in\mathcal{B} _A$ が存在する．そこで，各 $n$ に対して $B _a^{(n)}$ に対応する $D$ の元を $a _n$ とすれば，$a _n\in B _a^{(n)}\subseteq B _\frac{1}{n}(a)\cap A$ ゆえ点列 $\{a _n\} _{n=1}^\infty$ は $a$ に収束する．
以上より，$A$ は相対位相に関して可分である．