tex記法とMarkdown記法の練習を兼ねて，図2のRC回路のステップ応答を求めてみる．
コンデンサ$C$に流れる電流$i(t)$は，
$$i(t)=C\frac{dv_o(t)}{dt}$$
と表される．
この式を使って，キルヒホッフの電圧則を表すと，
$$v_i(t)=RC\frac{dv_o(t)}{dt}+v_o(t)$$
$\mathcal{L}[v_i(t)]=V_i(s),\mathcal{L}[v_o(t)]=V_o(s)$として，両辺をラプラス変換すると，
$$V_i(s)=RC[sV_o(s)-v_o(0)]+V_o(s)$$
$v_o(0)=0$として，伝達関数$G(s)=V_o(s)/V_i(s)$を求めると，
$$G(s)=\frac{V_o(s)}{V_i(s)}=\frac{\frac{1}{RC}}{s+\frac{1}{RC}}$$
デルタ関数$\delta (t)$のラプラス変換は，
$$\mathcal{L}[\delta (t)]=1$$
$v_i(t)=\delta (t)$をRC回路へ入力したとき，$V_i(s)=\mathcal{L}[v_i (t)]=1$である．
出力電圧のラプラス変換は，
$$V_o(s)=G(s)V_i(s)$$
と表されるので，RC回路のインパルス応答$g(t)$は，
\begin{align}
V_o(s)&=G(s)\\
v_o(t)&=\mathcal{L}^{-1}[V_o(s)]=\mathcal{L}^{-1}[G(s)]=g(t)\\
\therefore g(t)&=\mathcal{L}^{-1}[G(s)]
\end{align}
インパルス応答$g(t)$は伝達関数$G(s)$より．
$$g(t)=\mathcal{L}^{-1}[G(s)]=\frac{1}{RC}e^{-\frac{1}{RC}t}$$
と求められる．
任意の入力における応答はインパルス応答$g(t)$と入力との畳み込みで表すことができる．
RC回路にステップ関数$Eu(t)$を入力したときのステップ応答$v_o(t)$は，
\begin{align}
v_o(t)&=\int^t_0 g(\tau)Eu(t-\tau)d\tau\\
&=E\int^t_0\frac{1}{RC}e^{-\frac{1}{RC}\tau}d\tau\\
&=\frac{E}{RC}\left[ -RC e^{-\frac{1}{RC}\tau}\right]^t_0\\
&=\frac{E}{RC}\left[ -RC e^{-\frac{1}{RC}t}+RC\right]\\
&=E\left(1-e^{-\frac{1}{RC}t}\right)
\end{align}
出力電流$i(t)$は出力電圧$v_o(t)$の時間微分より，
$$i(t)=C\frac{dv_o}{dt}=\frac{E}{R}e^{-\frac{1}{RC}t}$$
電圧$v_o(t)$と電流$i(t)$を再掲すると，
\begin{align}
v_o(t)&=E\left(1-e^{-\frac{1}{RC}t}\right)\\
i(t)&=\frac{E}{R}e^{-\frac{1}{RC}t}
\end{align}