数学の軌跡を求める問題
前回の問題をもう一度考えてみます。
問題
高校数学の数学IIの図形と方程式の問題です。
実数のパラメータ$t$によって，次のように定まる$x$，$y$を座標とする点Pの軌跡を求めます。
$$x=\frac{t}{1+t^2}\cdots\text{①},\quad y=\frac{1}{1+t^2}\cdots\text{②}$$
解答その２
Jupiter notebook で Wolfram Engine が使えるようになり，Mathematicaが多くの人が使えるようになりました。今回の図をまず書くことにします。
ParamatericPlot
ParametricPlot[{t/(1+t^2),1/(1+t^2)},{t,-10,10},PlotRange->{{-1,1},{-1,2}}]
軌跡は円$$ x^2+\left(y-\frac12\right)^2=\frac14$$と予想されます。
\begin{aligned}[t]
x^2+\left(y-\frac12\right)^2&=\left(\frac{t}{1+t^2}\right)^2+\left(\frac{1}{1+t^2}-\frac12\right)^2\\
&=\frac{t^2}{(1+t^2)^2}+\frac{1}{(1+t^2)^2}-\frac{1}{1+t^2}+\frac14\\
&=\frac{t^2+1-1-t^2}{(1+t^2)^2}+\frac14\\
&=\frac14
\end{aligned}
$$ \therefore x^2+\left(y-\frac12\right)^2=\frac14\cdots\text{③}$$
よって，$t$の値によらず，点Pはこの円周上にあることになります。
前回の解答では，途中で，$y\ne0$としたので，
『$y=0$のときはまずいのかな？？？？』
とアラートが鳴りますが，この解答だと，$y=0$がダメな雰囲気はまったくありません。
2つの解答の検討
前回と今回の解答はともに，
$$\text{①}\wedge \text{②}\Rightarrow \text{③}$$
が示されています。ですので，この逆，
$$\text{③}\Rightarrow \text{①}\wedge \text{②}$$
が示せるのかを考えてみます。示すことができれば，この円全てが軌跡となります。また，示すことができないのであれば，除かれる点があることになります。そして，その点をを除外することで，必要十分な軌跡が求められます。