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パラメータと軌跡(数学II)その2

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数学の軌跡を求める問題

前回の問題をもう一度考えてみます。

問題

高校数学の数学IIの図形と方程式の問題です。

実数のパラメータ$t$によって,次のように定まる$x$,$y$を座標とする点Pの軌跡を求めます。
$$x=\frac{t}{1+t^2}\cdots\text{①},\quad y=\frac{1}{1+t^2}\cdots\text{②}$$

解答その2

Jupiter notebook で Wolfram Engine が使えるようになり,Mathematicaが多くの人が使えるようになりました。今回の図をまず書くことにします。

ParamatericPlot
ParametricPlot[{t/(1+t^2),1/(1+t^2)},{t,-10,10},PlotRange->{{-1,1},{-1,2}}]

スクリーンショット 2019-05-29 21.52.48.png

軌跡は円$$ x^2+\left(y-\frac12\right)^2=\frac14$$と予想されます。

\begin{aligned}[t]
 x^2+\left(y-\frac12\right)^2&=\left(\frac{t}{1+t^2}\right)^2+\left(\frac{1}{1+t^2}-\frac12\right)^2\\
&=\frac{t^2}{(1+t^2)^2}+\frac{1}{(1+t^2)^2}-\frac{1}{1+t^2}+\frac14\\
&=\frac{t^2+1-1-t^2}{(1+t^2)^2}+\frac14\\
&=\frac14
\end{aligned}

$$ \therefore x^2+\left(y-\frac12\right)^2=\frac14\cdots\text{③}$$
よって,$t$の値によらず,点Pはこの円周上にあることになります。

前回の解答では,途中で,$y\ne0$としたので,

『$y=0$のときはまずいのかな????』

とアラートが鳴りますが,この解答だと,$y=0$がダメな雰囲気はまったくありません。

2つの解答の検討

前回と今回の解答はともに,

$$\text{①}\wedge \text{②}\Rightarrow \text{③}$$

が示されています。ですので,この逆,

$$\text{③}\Rightarrow \text{①}\wedge \text{②}$$

が示せるのかを考えてみます。示すことができれば,この円全てが軌跡となります。また,示すことができないのであれば,除かれる点があることになります。そして,その点をを除外することで,必要十分な軌跡が求められます。

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