Qiita Teams that are logged in
You are not logged in to any team

Log in to Qiita Team
Community
OrganizationAdvent CalendarQiitadon (β)
Service
Qiita JobsQiita ZineQiita Blog
Help us understand the problem. What is going on with this article?

パラメータと軌跡(数学II)その3

More than 1 year has passed since last update.

数学の軌跡を求める問題

十分性の考察です。

問題

実数のパラメータ$t$によって,次のように定まる$x$,$y$を座標とする点Pの軌跡を求めます。
$$x=\frac{t}{1+t^2}\cdots\text{①},\quad y=\frac{1}{1+t^2}\cdots\text{②}$$

十分性の考察

$$ \therefore x^2+\left(y-\frac12\right)^2=\frac14\cdots\text{③}$$

$$\text{③}\Rightarrow \text{①}\wedge \text{②}$$
が示せるのかを考えてみます。

③を満たす$x$,$y$を

$$x=\frac{\sin\theta}2,\quad y=\frac{1+\cos\theta}2$$
とおきます。$\theta$の範囲は$-\pi<\theta\leqq\pi$としておきます。
このように,$\theta$を考えれば,円周上のすべての点をもれなく表すことができます。
すべての$\theta$について
$$\frac{t}{1+t^2}=\frac{\sin\theta}2,\quad y=\frac{1}{1+t^2}=\frac{1+\cos\theta}2$$
を満たす実数$t$が存在するでしょうか?存在すれば,

$$\text{③}\Rightarrow \text{①}\wedge \text{②}$$

が示せたことになります。
まず,$1+\cos\theta\neq0$,すなわち,$\theta\neq\pi$として,

\begin{aligned}[t]
 t&=\frac{\frac{\sin\theta}2}{\frac{1+\cos\theta}2}\\
&=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}\\
&=\frac{2\sin\frac{\theta}2\cos\frac{\theta}2}{2\cos^2\frac{\theta}2}\\
&=\frac{\sin\frac{\theta}2}{\cos\frac{\theta}2}\\
&=\tan\frac{\theta}2
\end{aligned}

$t=\tan\frac{\theta}2$となります。

スクリーンショット 2019-05-30 17.11.24.png

$-\pi<\theta<\pi$であるすべての$\theta$について,実数$t$が存在することになります。
また,$\theta=\pi$となる$t$は存在しないので$(0,\,0)$は軌跡上の点ではないので除きます。

求める軌跡は
$$\text{中心}\displaystyle{\left(0,\,\frac12\right)}\text{,半径}\displaystyle{\frac12}\text{の円。ただし,}(0,\,0)を除く$$
となります。

色々書きましたが,結局,パラメータである$t$を変化させて,グラフ上の点を追跡するのがいいのかなと思っています。

Why not register and get more from Qiita?
  1. We will deliver articles that match you
    By following users and tags, you can catch up information on technical fields that you are interested in as a whole
  2. you can read useful information later efficiently
    By "stocking" the articles you like, you can search right away