数学の軌跡を求める問題
十分性の考察です。
問題
実数のパラメータ$t$によって，次のように定まる$x$，$y$を座標とする点Pの軌跡を求めます。
$$x=\frac{t}{1+t^2}\cdots\text{①},\quad y=\frac{1}{1+t^2}\cdots\text{②}$$
十分性の考察
$$ \therefore x^2+\left(y-\frac12\right)^2=\frac14\cdots\text{③}$$
$$\text{③}\Rightarrow \text{①}\wedge \text{②}$$
が示せるのかを考えてみます。
③を満たす$x$，$y$を
$$x=\frac{\sin\theta}2,\quad y=\frac{1+\cos\theta}2$$
とおきます。$\theta$の範囲は$-\pi<\theta\leqq\pi$としておきます。
このように，$\theta$を考えれば，円周上のすべての点をもれなく表すことができます。
すべての$\theta$について
$$\frac{t}{1+t^2}=\frac{\sin\theta}2,\quad y=\frac{1}{1+t^2}=\frac{1+\cos\theta}2$$
を満たす実数$t$が存在するでしょうか？存在すれば，
$$\text{③}\Rightarrow \text{①}\wedge \text{②}$$
が示せたことになります。
まず，$1+\cos\theta\neq0$，すなわち，$\theta\neq\pi$として，
\begin{aligned}[t]
t&=\frac{\frac{\sin\theta}2}{\frac{1+\cos\theta}2}\\
&=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}\\
&=\frac{2\sin\frac{\theta}2\cos\frac{\theta}2}{2\cos^2\frac{\theta}2}\\
&=\frac{\sin\frac{\theta}2}{\cos\frac{\theta}2}\\
&=\tan\frac{\theta}2
\end{aligned}
$t=\tan\frac{\theta}2$となります。
$-\pi<\theta<\pi$であるすべての$\theta$について，実数$t$が存在することになります。
また，$\theta=\pi$となる$t$は存在しないので$(0,,0)$は軌跡上の点ではないので除きます。
求める軌跡は
$$\text{中心}\displaystyle{\left(0,,\frac12\right)}\text{，半径}\displaystyle{\frac12}\text{の円。ただし，}(0,,0)を除く$$
となります。
色々書きましたが，結局，パラメータである$t$を変化させて，グラフ上の点を追跡するのがいいのかなと思っています。