軌跡の十分性の証明を省略しないシリーズの第３弾です。直交する２直線の交点の軌跡です。

問題

$m$の値が変化するとき，次の2直線の交点$\text{P}$の軌跡を求めます。
$mx−y+5m=0\cdots\text{①},,x+my−5=0\cdots\text{②}$

解答

$\text{①}\times m+\text{②}$より，
$(m^2+1)x+5m^2-5=0$
$\displaystyle \therefore x=\frac{5-5m^2}{1+m^2}$
①に代入して，
$\displaystyle\therefore y=\frac{5m-5m^3}{1+m^2}+\frac{5m+5m^3}{1+m^2}=\frac{10m}{1+m^2}$
$\text{P}(x,y)$とおくと，
$\displaystyle x=\frac{5-5m^2}{1+m^2}\cdots\text{③},,y=\frac{10m}{1+m^2}\cdots\text{④}$
③，④より，$m$を消去して，
$\begin{aligned}[t]
\displaystyle \left(\frac x 5\right)^2+\left(\frac y 5\right)^2
&=\left(\frac{1-m^2}{1+m^2}\right)^2+\left(\frac{2m}{1+m^2}\right)^2\
&=\frac{(1-m^2)^2-4m^2}{(1+m^2)^2}\
&=\frac{(1+m^2)^2}{(1+m^2)^2}\
&=1
\end{aligned}$
$\therefore x^2+y^2=25$
点$\text{P}$は原点中心，半径5の円周上であることがわかりました。
しかし，この円周上全体を動けるかどうかはわかりません。
そこで，点$\text{P}$が円$x^2+y^2=25$上の点であるとすると，
$\text{P}(5\cos\theta,,5\sin\theta)\quad(-\pi<\theta\leqq\pi)$
とおくことができます。このとき，①より，
$5m\cos\theta−5\sin\theta+5m=0$
$m(1+\cos\theta)=\sin\theta$
$1+\cos\theta\neq0$，すなわち，$\theta\neq\pi$として，
$\begin{aligned}[t]
\displaystyle m&=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}\
&=\frac{2\sin\frac{\theta}2\cos\frac{\theta}2}{2\cos^2\frac{\theta}2}\
&=\frac{\sin\frac{\theta}2}{\cos\frac{\theta}2}\
&=\tan\frac{\theta}2
\end{aligned}$
$\therefore m=\tan\frac{\theta}2\quad (-\pi<\theta<\pi)$
となり，$\theta=\pi$のときを除いて，実数$m$は存在することがわかりました。

$\theta=\pi$，すなわち，$\text{P}(-5,,0)$のときは
①で$m$を考えると，$m$は任意の実数で成り立ちます。
②で考えると，満たす実数$m$は存在しません。
①と②の両方を満たす必要があるので，この場合の実数$m$は存在しないことなります。
よって，点Pの軌跡としては$(-5,,0)$は除かれます。

以上より、点$\text{P}$の軌跡は原点中心，半径5の円で，点$(-5,,0)$は除いたものとなります。