軌跡の十分性の証明を省略しないシリーズの第２弾です。軌跡が円になる場合です。
問題
2点$\text{A}(-3,,0)$，$\text{B}(1,,0)$からの距離の比が$3:1$である点$\text{P}$の軌跡を求めます。
解答
$\text{P}(x,y)$とおくと，$\text{AP}:\text{BP}=3:1$より，$$\text{AP}=3\text{BP}$$$$\therefore \text{AP}^2=9\text{BP}^2$$$$\therefore (x+3)^2+(y-0)^2=9(x-1)^2+9(y-0)^2$$$$\therefore x^2+6x+9+y^2=9x^2-18x+9+9y^2$$$$\therefore 8x^2+8y^2-24x=0$$$$\therefore x^2-3x+y^2=0$$$$\therefore \left(x-\frac32\right)^2+y^2=\frac94$$よって，点$\text{P}$は中心$\left(\frac32,,0\right)$，半径$\frac32$の円周上にあることがわかりました。しかし、円周上全体を動くかどうかはわかりません。
そこで，点$\text{P}(a,b)$が円$x^2-3x+y^2=0$上の点であるとすると，$$a^2-3a+b^2=0\cdots\text{①}$$が成り立ちます。このとき，
$$\begin{aligned}[t]
\text{AP}^2-9\text{BP}^2
&=(a+3)^2+b^2-9(a-1)^2-9b^2\
&=a^2+6a+9-9a^2+18a-9-9b^2\
&=-8a^2-8b^2+24a\
&=-8(a^2-3a+b^2)\
&=0\quad(\therefore\text{①})
\end{aligned}$$$$\therefore \text{AP}^2=9\text{BP}^2$$$$\therefore \text{AP}=3\text{BP}$$$$\therefore \text{AP}:\text{BP}=3:1$$
となるので、円$x^2-3x+y^2=0$上どこに点$\text{P}$をとっても$\text{AP}:\text{BP}=3:1$となります。
以上より、点$\text{P}$の軌跡は中心$\left(\frac32,,0\right)$，半径$\frac32$の円全体を表します。除かれる点などはありません。