数値微分のメモ

よく忘れるがたまに使うのでメモ

数式の直感的理解はWikiを参照。nの打ち切りとaの値を設定でき、もとのグラフとテイラー展開で近似した関数の比較ができます。

関数f(x) の x = a でテイラー展開すると、その定義から次のように書ける。

f\left(x\right)=\sum_n^\infty\frac{f^{n}\left(a\right)}{n!}\left(x-a\right)^n=f\left(a\right)+f^\prime\left(a\right)\left(x-a\right)+\frac{f^{\prime\prime}\left(a\right)}{2!}\left(x-a\right)^2+\frac{f^{\prime\prime\prime}\left(a\right)}{3!}\left(x-a\right)^3+...

これを式変形すると f'(a) = ... というように式変形すると

f^\prime\left(a\right)=\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{\left(x-a\right)}-\frac{1}{\left(x-a\right)}\left\{\frac{f^{\prime\prime}\left(a\right)}{2!}\left(x-a\right)^2+\frac{f^{\prime\prime\prime}\left(a\right)}{3!}\left(x-a\right)^3+...\right\}

x-a=⊿ とすると

f^\prime\left(a\right)=\frac{f\left(a+\delta\right)-f\left(a\right)}{\delta}-\left\{\frac{\delta}{2}f^{\prime\prime}\left(a\right)+\frac{\delta^2}{6}f^{\prime\prime\prime}\left(a\right)...\right\}

十分に⊿が小さいとし、コンピュータへの計算させやすさから右辺第2項を誤差として扱うと、以下のように書ける

f^\prime\left(a\right)=\frac{f\left(a+\delta\right)-f\left(a\right)}{\delta}-O\left(\delta\right)