東京大学理学部数学科で2016年Aセメスターに開講された科目「集合と位相」のまとめです。
テスト対策で、授業の劣化です。講義ではしっかり証明もされていますし、図も描かれています。
濃度と選択公理
（いつか書く）
距離空間
- Def. 距離空間とは、集合$X$と、$X$上の距離の組。
- Def. 点とは、$X$の元のこと。
距離
- Def. $X$上の距離$d: X \rightarrow \mathbb R$とは、以下を満たす写像。
- $d(x,y) \ge 0$, $d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x=y$
- $d(x,y) = d(y,x)$
- $d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y)$
点列、極限
- Def. **点列$\{x_n \} \subset X$**とは、写像:$\mathbb N \rightarrow X$。
- Def. **$\{x_n \}$が$x$に収束 $\Leftrightarrow$ $\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = x$**とは、$\forall \epsilon >0 , \exists N \in \mathbb N, (n \le N \Rightarrow d_X(x_n, x) < \epsilon)$。
連続写像
$X,Y$を距離空間、$f: X \rightarrow Y$とする。
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Def. $f$が$a$で連続 $\Leftrightarrow$ $\forall \epsilon>0, \exists \delta>0, d_X(x,a)<\delta \Rightarrow d_Y(f(x),f(a)) <\epsilon$
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Def. $f$が連続 $\Leftrightarrow$ $\forall x \in X, fはxで連続$
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Thm. $f: X \rightarrow Y$が$x \in X$で連続 $\Leftrightarrow$ $\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = x \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty} f(x_n) = f(x)$
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Thm. 連続写像は以下を保つ。
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コンパクト性
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点列コンパクト性
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連結性
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弧状連結性
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可分性
点列コンパクト
- Def. $\{x_n\}$の部分列とは、狭義単調増加自然数列$\{n_k\}$によって、$\{x_{n_k}\}$と表されるもの。
- Def. $X$が点列コンパクトであるとは、$\forall \{x_n\} \subset X, \exists \{x_{n_k}\} \in \{ \{x_n\}の部分列全体 \}, \{x_{n_k}\}が収束$
完備
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Def. $\{x_n\} \subset X$がコーシー列であるとは、$\forall \epsilon >0, \exists N \in \mathbb N, (n,m \ge N \Rightarrow d(x_n, x_m) < \epsilon)$
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Def. $A \subset X$が閉であるとは、$\{x_n\} \subset A$のとき$\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = x \Rightarrow x \in A$
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Def. $X$が完備であるとは、$X$のコーシー列が必ず収束し、閉であること。
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Thm. 完備な空間の部分空間は完備
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Def. バナッハ空間とは、完備なノルム線形空間のこと。（ノルムの定義は自分で調べて）
有界、全有界
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Def. $diam(X) = \sup_{x,x' \in X} d(x,x')$
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Def. $X$が有界とは、$diam(X) < \infty$
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Def. $r>0, x \in X$のとき、$B_r(x) = \{y | d(x,y) < r \}$
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Def. $X$が全有界とは、$\forall r>0, \exists A \subset X, ( |A| < \infty \land X = \bigcup_{a \in A} B_r(a))$
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Thm. 全有界$\Rightarrow$有界
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Thm. 点列コンパクト$\Leftrightarrow$全有界かつ完備
コンパクト
- Def. $X$の開被覆とは、$\{ O_\lambda \}{\lambda \in \Lambda} \subset \{開集合全体\}$で$X \subset \bigcup{\lambda \subset \Lambda} O_\lambda$となるもの。
- Def. $X$がコンパクトとは、任意の開被覆$\{ O_\lambda \}{\lambda \in \Lambda$に対し、$|\Lambda_0| < \infty$かつ$\Lambda_0 \subset \Lambda$で$\{O\lambda\}_{\lambda \in \Lambda_0\}$が開被覆となるようなものが存在すること。
- Thm. (距離空間において)$X$がコンパクト $\Leftrightarrow$ $X$が点列コンパクト
- Note. 位相空間では、コンパクトと点列コンパクトは独立。
例など
ハウスドルフ距離
$X$が閉な距離空間のとき、$X$の閉集合全体に距離を入れられる。
- Def. $Cl(X) = {閉集合全体}$
- Def. $D: Cl(X)^2 \ni (F,G) \mapsto \inf \{r \in \mathbb R | B_r(F) \subset G \land B_r(G) \subset F\} \in \mathbb R$
- Thm. $D$は$Cl(X)$上の距離。
- Thm. $X$が点列コンパクトならば、$Cl(X)$も点列コンパクト。