Juliaで記号同士の計算がしたい~猫や犬の行列をかけて、猫で微分してみる

SymEngine.jl

何かの数式の計算をする際に、記号同士の計算自体もJuliaにやらせたい、そんなときもあると思います。
例えば、行列と行列を掛け算した後に数字を代入したいとか。
これをやるパッケージとしてSymEngine.jlがありますので、紹介したいと思います。
https://github.com/symengine/SymEngine.jl

バージョン

Julia 1.2

インストール

インストールはいつものように、]を押してパッケージモードにしてから、

add SymEngine

とすればできます。

使い方

こんな感じのことができます。

記号の定義

using SymEngine
🐱 = symbols(:🐱)
🐶 = symbols(:🐶)

猫と犬を記号として定義します。これを使ってランダムな要素を持つ行列：

A = rand([🐶,🐱],3,3)

を定義すると、

3×3 Array{Basic,2}:
 🐶  🐶  🐶
 🐶  🐱  🐶
 🐱  🐶  🐱

ができます。
同様に、🍚と🍘を定義して、その行列も定義すると

🍚 = symbols(:🍚)
🍘 = symbols(:🍘)
B = rand([🍚,🍘],3,3)

3×3 Array{Basic,2}:
 🍚  🍚  🍚
 🍘  🍘  🍚
 🍘  🍘  🍘

となります。

この行列Aと行列Bをかけてみましょう。

C = A*B

3×3 Array{Basic,2}:
 🐱*🍘 + 🐶*🍘 + 🐶*🍚  🐱*🍘 + 🐶*🍘 + 🐶*🍚  🐱*🍚 + 🐶*🍘 + 🐶*🍚
     2*🐱*🍘 + 🐱*🍚      2*🐱*🍘 + 🐱*🍚      🐱*🍘 + 2*🐱*🍚
     🐱*🍚 + 2*🐶*🍘      🐱*🍚 + 2*🐶*🍘  🐱*🍚 + 🐶*🍘 + 🐶*🍚

となります。記号で計算ができていますね。

代入

ここで、🍚や🍘に数字を代入してみましょう。

c = subs.(C,🍘 .=>2.0)

3×3 Array{Basic,2}:
 2.0*🐱 + 2.0*🐶 + 🐶*🍚  2.0*🐱 + 2.0*🐶 + 🐶*🍚  2.0*🐶 + 🐱*🍚 + 🐶*🍚
         4.0*🐱 + 🐱*🍚          4.0*🐱 + 🐱*🍚      2.0*🐱 + 2*🐱*🍚
         4.0*🐶 + 🐱*🍚          4.0*🐶 + 🐱*🍚  2.0*🐶 + 🐱*🍚 + 🐶*🍚

ちゃんと数字が入りました。
ここで、subsというのは、

subs( 🐱*🍘 + 🐶*🍘 + 🐶*🍚,🍘 =>2.0)

のような使い方をする記号に数字などを代入する関数です。行列だったので.をつけて一気に演算してみました。
また、猫を犬に変えることもできて、

c = subs.(C,🐱 .=> 🐶)

3×3 Array{Basic,2}:
 2*🐶*🍘 + 🐶*🍚  2*🐶*🍘 + 🐶*🍚  🐶*🍘 + 2*🐶*🍚
 2*🐶*🍘 + 🐶*🍚  2*🐶*🍘 + 🐶*🍚  🐶*🍘 + 2*🐶*🍚
 2*🐶*🍘 + 🐶*🍚  2*🐶*🍘 + 🐶*🍚  🐶*🍘 + 2*🐶*🍚

ができます。

微分

微分もできてしまいます。

d = diff.(C,🐱)

3×3 Array{Basic,2}:
       🍘        🍘        🍚
 2*🍘 + 🍚  2*🍘 + 🍚  🍘 + 2*🍚
       🍚        🍚        🍚

行列要素

行列要素を定義することも簡単にできます。
例えば、

Cat = [symbols("🐱_$i$j") for i in 1:3, j in 1:4]
Dog = [symbols("🐶_$i$j") for i in 1:3, j in 1:4]

とすると、

3×4 Array{Basic,2}:
 🐱_11  🐱_12  🐱_13  🐱_14
 🐱_21  🐱_22  🐱_23  🐱_24
 🐱_31  🐱_32  🐱_33  🐱_34

3×4 Array{Basic,2}:
 🐶_11  🐶_12  🐶_13  🐶_14
 🐶_21  🐶_22  🐶_23  🐶_24
 🐶_31  🐶_32  🐶_33  🐶_34

添え字をつけることができます。
さらに、

Cat*transpose(Dog)

とすれば、

3×3 Array{Basic,2}:
 🐶_11*🐱_11 + 🐶_12*🐱_12 + 🐶_13*🐱_13 + 🐶_14*🐱_14  …  🐶_31*🐱_11 + 🐶_32*🐱_12 + 🐶_33*🐱_13 + 🐶_34*🐱_14
 🐶_11*🐱_21 + 🐶_12*🐱_22 + 🐶_13*🐱_23 + 🐶_14*🐱_24     🐶_31*🐱_21 + 🐶_32*🐱_22 + 🐶_33*🐱_23 + 🐶_34*🐱_24
 🐶_11*🐱_31 + 🐶_12*🐱_32 + 🐶_13*🐱_33 + 🐶_14*🐱_34     🐶_31*🐱_31 + 🐶_32*🐱_32 + 🐶_33*🐱_33 + 🐶_34*🐱_34

添え字同士の掛け算もできます。