Rails で定義されている Range#overlaps? の定義は

def overlaps?(other)
  cover?(other.first) || other.cover?(first)
end

となっている。other と対比しやすいよう self を補うと

self.cover?(other.first) || other.cover?(self.first)

となる。

ところで、区間が重なっているか調べるには

self.first <= other.end && other.first <= self.end

という別式も知られている。これは、区間どうしが重ならない条件

self.end < other.first || other.end < self.first

の否定として得られる。

Rails の Range#overlaps? の定義が、この別式と等しいかどうか見てみよう。区間は両端を含み、first <= end となっているとする。

さっき self を補った式

self.cover?(other.first) || other.cover?(self.first)

からスタートする。cover? の定義を展開する。

(self.first <= other.first && other.first <= self.end) || 
  (other.first <= self.first && self.first <= other.end)

&& を || した形になった。ここで

   (A && B) || (C && D)
== (A || (C && D)) && (B || (C && D))
== (A || C) && (A || D) && (B || C) && (B || D)

だから、当てはめて

(self.first <= other.first || other.first <= self.end) &&
  (self.first <= other.first || self.first <= other.end) &&
  (other.first <= self.first || other.first <= self.end) &&
  (other.first <= self.first || self.first <= other.end)

を得る。第二項と第三項は冗長、たとえば第二項で self.first <= other.first のときは常に self.first <= other.end を満たすので、まとめて

(self.first <= other.first || other.first <= self.end) &&
  (self.first <= other.end) &&
  (other.first <= self.end) &&
  (other.first <= self.first || self.first <= other.end)

となる。ここで第一項の

(self.first <= other.first || other.first <= self.end)

に注目しよう。実は簡単な条件じゃないかという匂いがするので二重否定をつけて

!!(self.first <= other.first || other.first <= self.end)

まずド・モルガンと不等号を反転して

!(self.first > other.first && other.first > self.end)

だが、self.first <= self.end なので !(...) の中身は常に成り立たない。つまり

!false

なので、第一項は true だった。同様に第四項も true になって

true &&
  (self.first <= other.end) &&
  (other.first <= self.end) &&
  true

であり、true && を縮約して別式と同じ

self.first <= other.end && other.first <= self.end

が得られた。