はじめに
映画「天気の子」を題材に「ベイズの定理」について丁寧に解説してみます。離散分布を考えた場合のベイズの定理を導出して、ベイズ更新まで解説します。映画のネタバレはありません。
設定
現代において「晴れ女」を自称する女性のうち、85%が「ニセモノの晴れ女」、15%が「本物の晴れ女」であるという。「本物の晴れ女」の祈りは90%の割合で晴天を呼び出し、一方で「ニセモノ」の祈りは60%の割合でしか晴天を呼びだすことができない。
6月5日、僕は天野陽菜（あまのひな）という自称「晴れ女」に出会った。
そして、僕は、7月7日の午前が晴れになるように彼女に祈ってもらった。
7月7日の午前は快晴だった。
天野陽菜が「本物の晴れ女」である可能性は何パーセントなのだろうか。
情報を整理
情報を整理しておきます。
- 「晴れ女」を自称する女性のうち、$85%$ が「ニセモノ」、$15%$ が「本物」である。
- 「本物の晴れ女」の祈りは $90%$ の確率で晴天を呼ぶことができる。
- 「ニセモノの晴れ女」の祈りは $60%$ の確率で晴天を呼ぶことができる。
- 「晴れ女」を自称する天野陽菜が祈ると晴天になるという出来事（事象）を 1回だけ 確認した。
ここから、求めたいことは次のことです。
- 彼女が祈ると晴天になるという1回分の事象を踏まえたうえで、彼女が「本物の晴れ女」であるという確率
ベイズの世界では、このように何らかの事象を観測した後の確率（可能性・確信の度合い）を 事後確率 といいます。「何らかの事象」とは、いまの場合であれば「彼女が祈って7月7日が晴れた」という事象です。ベイズの定理は基本的に、この 事後確率 を求めるために使います。
ところで、事後確率 を考えるのだから 事前確率 というものも考えます。
事前確率 とは、事象を観測する前の確率です。いまの場合であれば、出会いがあった6月5日の段階において、彼女が「本物の晴れ女」であると考えられる確率です。これは、問題設定のなかで明示されているように $15%$ です。
整理すると「本物の晴れ女」である 事前確率 が $15%$ のとき「晴天」という事象を1回観測すると、「本物の晴れ女」であるという確率（事後確率）はどのようになるのか？を考える問題です。これを解くための材料が 条件付き確率 です。
条件付き確率 とは「ある事象が起こるという条件のもとで、別のある事象が起こる確率」のことです。いまの場合であれば「仮定 '本物の晴れ女' が成立する条件のもとで、晴れる確率（$90%$）」や「仮定 'ニセモノの晴れ女' が成立する条件のもとで、晴れる確率（$60%$）」が、条件付き確率です。
各確率の関係を図に表現
ここで、一度、各種確率を整理して図として表現してみたいと思います（この図は、ベイズの定理の解説でよく利用されるものです）。
上図は、事象が観測される以前の「世界の可能性」を表したものです。7月7日に実際に天気を確認するまでは、まだ「晴れ」の可能性も、「晴れ以外」の可能性も存在しています。また、彼女が「本物」である可能性も「ニセモノ」である可能性もあります。そして、それらの全ての組合せの可能性の合計は $1.0=100%$ になります。
図中の①から④の四角形の面積は、それぞれの可能性の高さ、つまり確率を表しています。例えば、①の「ニセモノで晴れ以外となる確率 $34%$」が「ニセモノである確率 $85%$」×「（ニセモノの祈りが）晴れ以外を起こす確率 $40%$」で計算できることは、直感と一致するのではないでしょうか？
ところで、この関係を一般化した数式にすると次式のように「事象 $D$ と 事象 $H$ の 同時確率 $P(D\cap H)$」は「事象 $H$ が起こる確率 $P(H)$ 」と「 $H$ を仮定したときに 事象 $D$ が起こるという条件付き確率 $P(D|H)$ 」の積として表現できます。
$$ P(D\cap H) = P(H) \cdot P(D|H) $$
補足
ちょっと寄り道して（後半の解説への伏線として）この段階で、7月7日が「晴れ」となる確率を計算してみます。この確率は、図から分かるように「②と④の面積」の合計で求められます。つまり、$0.51+0.135=0.645=64.5%$ です。
このことを少し一般化した式で表してみます。
天気を $D$ 、彼女が「ニセモノ」であることを $H_{0}$、「本物」であることを $H_{1}$ という記号で表すと、天気 $D$ の可能性を構成する2つの四角形の面積は、それぞれ、次のようになります。
P(D\cap H_{0}) = P(H_{0}) \, P(D|H_{0}) \\
P(D\cap H_{1}) = P(H_{1}) \, P(D|H_{1})
これら面積の合計が天気 $D$ となる確率 $P(D)$ なので、$P(D)$ は次のように書けます。
$$ P(D) = P(H_{0}) , P(D|H_{0}) + P(H_{1}) , P(D|H_{1})$$
この式を 式(1) として、後半で利用します。
晴れた！
7月7日を迎えて「晴れ」という事象が観測されます。すると「晴れ以外」の可能性の世界は消滅して、次のように「ニセモノで晴れ」と「本物で晴れ」の可能性だけが世界に残ります。
この状態では、面積 $=$ 確率ではありません。なぜなら、ありえる可能性（ここでは ①' と ②'）の総和をとっても $1.0=100%$ にならないからです。
2つの面積の比率を保ったまま、合計面積が $1.0$ となるようにします。この作業を 正規化 といいます。正規化すると「面積 $=$ 確率」となる図になります。
これで、彼女が「本物」である可能性についての答えがでました。
「晴れ」という事象は実際に起きた事実なので、この世界において「晴れで本物の確率」は「（彼女が）本物の確率」そのものです（「晴れ以外でXXの確率」は $0%$ なのだから）。その確率（面積）は図の ②' から明らかです。よって・・・
天野陽菜が「本物の晴れ女」である可能性は $21%$ である という結論を得ます。
これを一般化してみます。図の ②' の面積は、天気$D$（ここでは「晴れ」）が観測されたときに彼女が「本物」である確率 $P(H_{1}|D)$ を表します（「本物」であることを $H_{1}$ という記号であらわしていたのを思い出してください）。
図中に書いてあるように確率 $P(H_{1}|D)$ は次の計算で求めました。
$$ P(H_{1}|D) =0.21 = \frac{0.135}{0.51+0.135} $$
この式の要素である $0.51$ と $0.135$ は次の計算で得たものでした。
0.51 = 0.85 \times 0.6 = P(H_{0})\, P(D|H_{0}) \\
0.135 = 0.15 \times 0.9 = P(H_{1})\, P(D|H_{1})
ということは、$P(H_{1}|D)$ は次のように書けるわけです。
$$ P(H_{1}|D) =\frac{ P(H_{1}), P(D|H_{1}) }{ P(H_{0}), P(D|H_{0}) + P(H_{1}), P(D|H_{1}) } $$
ここで、先に導いておいた 式(1) を利用すると次のようになります。
$$ P(H_{1}|D) =\frac{ P(H_{1}), P(D|H_{1}) }{ P(H_{0}), P(D|H_{0}) + P(H_{1}), P(D|H_{1}) }= \frac{ P(H_{1}), P(D|H_{1})}{ P(D) }$$
$H_{1}$ を $H$ と書き換えて、右辺の分子の掛け算の順番を入れ替えると次のようになります。
$$ P(H|D) = \frac{ P(D|H), P(H)}{ P(D) }$$
この式が「ベイズ定理」とよばれるものになります。$D$ が観測されたときに $H$ である可能性（事後確率）は、このベイズの定理を使って簡単に求めることができます。
ベイズの定理を利用して簡単計算
ここまでは、事後確率 を求めるために図を描いたり、ごちゃごちゃと説明をしましたが、ベイズの定理を利用すれば機械的に確率計算ができます。
ここでは**「7月7日の午前が雨だった」というパラレルワールド**を想定して、天野陽菜が「本物の晴れ女」の可能性を求めます。このパラレルワールドでは $D$ は「雨（晴れではない）」を表すことに注意してください。
\begin{align}
P(H_{1}|D) & = \frac {P(D|H_{1})\, P(H_{1})}{P(D)} \\
& = \frac {P(D|H_{1})\, P(H_{1})}{P(H_{0})\, P(D|H_{0}) + P(H_{1})\, P(D|H_{1}) } \\
& =\frac{0.1 \times 0.15}{ 0.4 \times 0.85 + 0.1 \times 0.15}\\
& = 0.042
\end{align}
7月7日の午前が雨だと、天野陽菜が「本物の晴れ女」の可能性は $4.2%$ まで落ち込みます。
2回目の晴れ依頼（ベイズ更新）
7月7日が「晴れ」だった世界に戻ります。つづいて、次のような設定を考えます。
7月7日の午前は快晴だった。
天野陽菜は「本物の晴れ女」なのかもしれない。
僕は、もう一度、彼女にお願いをした。7月26日の夕方を晴れにして欲しい、と。
彼女の祈りは通じた。
つまり、2回目も「晴れ」となりました。この事実を受けて、彼女が「本物の晴れ女」である可能性はどのように変化するかを考えています。ここでもベイズの定理を利用します。
$$ P(H|D) = \frac{ P(D|H), P(H)}{ P(D) }$$
ただし、この際に、事前確率 $P(H)$ には「晴れ女を自称する女性のうち、85%が「ニセモノの晴れ女」、15%が「本物の晴れ女」であるという・・・」という最初の情報ではなく、7月7日の結果によって更新された確率を使います。
具体的には、彼女が「本物」である可能性 $21%$、「ニセモノ」である可能性 $79%$ です。このように、以前に求めた 事後確率 を次の推定における 事前確率 として使うことを ベイズ更新 といいます。
7月7日に引き続き、7月26日の夕方も晴れにした天野陽菜が「本物の晴れ女」である可能性（確信の度合い）は・・・
\begin{align}
P(H_{1}|D) & = \frac {P(D|H_{1})\, P(H_{1})}{P(D)} \\
& = \frac {P(D|H_{1})\, P(H_{1})}{P(H_{0})\, P(D|H_{0}) + P(H_{1})\, P(D|H_{1}) } \\
& =\frac{0.9 \times 0.21}{ 0.6 \times 0.79 + 0.9 \times 0.21}\\
& = 0.285
\end{align}
$28.5%$ になりました。最初は $15%$、1回目に晴れを呼んで $21%$、2回目に晴れを呼んで $28.5%$ と「本物の晴れ女」である可能性が徐々に高くなってきていることが分かります。
このあと、彼女が何度も晴れを呼び出すことで、「本物の晴れ女」である可能性（確信の度合い）はどんどん高くなっていくのです。そして・・・（つづきは映画館で！）
関連
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- 連続分布の場合のベイズの定理について書いています。
参考資料
- [1] 涌井貞美 著「図解・ベイズ統計「超」入門」おすすめ
- [2] 一石賢 著「意味がわかるベイズ統計学」
- [3] 小島寛之 著「完全独習ベイズ統計学入門」