Ubuntu を 14.04LTS にアップデートすると、Chromium も バージョン 34.0.1847.116 Ubuntu 14.04 aura になりました。そこで、YouTubeを開いてみると以下のような状態に（一部そのまま見れる動画もあります）。
これは Chrome/ium が Adobe Flash の使っている Netscape Plugin API の提供を打ち切るためです。代わりに、Pepper Plugin API というものを提供し始めるのですが、それに対応した Adobe Flash のプラグイン Pepper Flash Player Plugin を利用するには２つの方法があります。
注：2016年5月現在、32bitのPCではこのどちらの方法も使うことができません。諦めて下さい。詳しくはChrome Linux 32bit版の後始末とFlash問題 - ぷちてくをお読み下さい。
1. Google Chrome ブラウザに乗り換える
特にこだわりのない人は、Google Chrome ブラウザをインストールして乗り換えるという方法があります。Chrome は初めから Pepper Flash Player Plugin をバンドルしてくれているので、別途インストールやバージョンアップをする手間はありません。
2. Pepper Flash Player Plugin を別途入手して Chromium にインストールする
sudo apt-get install pepperflashplugin-nonfree
sudo update-pepperflashplugin-nonfree --install
1行目で Ubuntu のパッケージとしてインストール、2行目で chromium にインストールしています。2行目を変更すると Google Chrome の Unstable バージョンにインストールしたりもできます。
（14.04 より前のバージョンをお使いの場合はこの方法は使えないので Web Upd8 の過去の記事 を参考にインストールして下さい。）
注意：sudo apt-get upgradeではプラグインがアップデートされません。セキュリティを保つために、
sudo update-pepperflashplugin-nonfree --install
で定期的にアップデートしてください。現在インストールされているバージョンと最新バージョンは
sudo update-pepperflashplugin-nonfree --status
で確認することができます。
2016/5/14 追記
こちらの方法でアップデートする際に
ERROR: failed to retrieve status information from google :
W: 以下の鍵 ID に対して利用可能な公開鍵がありません: 1397BC53640DB551 More information might be available at:
http://wiki.debian.org/PepperFlashPlayer
というエラーが出ることがあります。これはGoogleのGPG公開鍵の期限が切れたことによるもので、再インポートによって解決します。
gpg --keyserver keyserver.ubuntu.com --recv-keys 1397BC53640DB551 &&
gpg --export --armor 1397BC53640DB551
| sudo sh -c 'cat >> /usr/lib/pepperflashplugin-nonfree/pubkey-google.txt'
参考：Use Chromium on Linux? Adobe Flash Will Stop Working From April | OMG! Ubuntu!