はい。
これは、xy平面上に(グラフ用紙と思って下さい)長さ１の線が引かれています。 このとき点Aの座標を(X,Y)とすると、sinα はどうなるか？
はい、原点Oから出ている赤い線の先を点Aとお考えいただきます幸いです。
なので原点Oから青文字のXの位置までが底辺で青文字のYの位置が高さとなります。
底辺がX、高さがY、斜辺が1ですね。
sinαのときは高さ/斜辺で求まるためYとなります。
cosαも同様に底辺/斜辺でも泊まるためXとなります。
はい、ここまでは昨日などと変わらないお話かと思います。
で、この原点からの距離が1の地点を結んでいる半径=1 の円のことを「単位円」と言われます。 そしてsinα cosα tanα それぞれを単位円で考えたとき sinα ＝ X cosα ＝ Y tanα ＝ X/Y となります。
sinα ＝ -X cosα ＝ Y tanα ＝ -X/Y
ということになります。cosαとtanαが負の数になっておりますが、このままもうちょっと続きます。
上記画像の1まいめの図のときは、
sinα = -X cosα = -Y tanα = X/Y
※tanαは-X/-Yでともに値が負の数であったため正の数になっております。
そして2まいめの図のときは
sinα = X cosα = -Y tanα = X/(-Y)
(分数など綺麗に書ける記法あるはずなのですが省略しています)
そして上記のようなαが135°として90°より大きいものになっているとき
1 sin135 ° 2 cos135°
3 tan（-45°）
4 cos210°
それぞれの時はこの表から
X,Yがともに正の数の領域外の際には
sin(180°-α）＝sinα cos(180°-α）＝-cosα
tan（180°-α）＝-tanα
となる関係から求めるそうです。(考え方や関係が理解できれば表をずっとまる暗記する必要がなくなります)
1のsin135°はsin=高さ/斜辺であるので、sin45°から導いて1/√2となります。
2のcos135°はcos=底辺/斜辺であるので、同様のに表と上記の式を使えば-1/√2となりますが、何故負の数が出てきているかは底辺が-Xであるために-1/√2となります。
3のtan（-45°）はtan=高さ/底辺の式から高さが-Y、底辺がXであるので-1となります。
4の cos210°は-3/√2となります。
sin,cos,tanの求め方が
sin=高さ/斜辺 cos=底辺/斜辺 tan=高さ/底辺
の式であり、
今回ここまで使っていた三角形は斜辺の長さは1であったので
X,Y両方共が正の領域である場合に
cosα=X sinα=Y
となっていますね！
ピタゴラスの定理(三平方の定理)が
(斜辺)^2 = X^2 + Y^2
であることから
1^2 = (cosα)^2 + (sinα)^2
であると言い換えることが出来ます。斜辺の長さが都合のよかった1でない場合でも
斜辺が1でα=30°の時には
1^2 = (√3/2)^2 + (1/2)^2
1 = 3/4 + 1/4
で1^2 = (cosα)^2 + (sinα)^2 の関係が成り立っていますね。
では斜辺が2倍になった場合も
2^2 = (2X)^2 + (2Y)^2
4 = 4X^2 + 4Y^2 1 = X^2 + Y^2
となりますね。