モンティ・ホール問題とは？
3つのドア1,2,3のうちある1つのドアの奥にはアタリの車、他の二つのドアの奥にはハズレのヤギがいる。回答者が1つドアを選ぶと答えを知る司会者は回答者が選ばなかった2つのドアから奥にヤギがいるドアを1つ開ける。回答者は開けるドアを変更することができるが、回答者は開けるドアを変更するべきかどうかという問題。
下の画像を例にすると、例えば回答者が初めに1番のドアを選択した時に司会者が外れの3番のドアを開けます。この3番のドアが外れという事実を知った上で回答者は最初に選んだ1番のドアを開ける方がアタリの確率が高いか、それとも2番のドアを選んだ方がアタリの確率が高いかという問題です。
 >参考、引用 [Wikipedia(モンティ・ホール問題)](https://ja.wikipedia.org/wiki/モンティ・ホール問題)私はこの問題を初めて知った時、「ドアを変更しようがしまいが確率は
```math \frac{1}{2} ```だろ〜」と思いました。しかし皆さんの予想通り、そんなに単純な問題ならばここまで有名な問題にはなりません。結論から申しますとアタリのドアの確率は
```math ドアを最初選んだままにした時：\frac{1}{3} \hspace{15px}\\ ドアを最初選んだものから変更した時：\frac{2}{3} ```となります。これの説明としてはよくドアを1000000個までに増やした場合を考えると〜みたいなものが多いのですが、私はその説明では心の底からは納得できませんでした。しかしこの間、ようやく納得のいく説明に出会うことができました。それがベイズの定理を使ったものです！
ベイズの定理
```math P(\theta|X)=\frac{P(X|\theta)P(\theta)}{P(X)} ```この数式は、
```math P(原因|結果)=\frac{P(結果|原因)P(原因)}{P(結果)} ```と解釈することができます。上の図で1のドアを選んだ場合に車が1のドアにある確率をベイズの定理に当てはめてみると、
P(1=車|3=ヤギ)=\frac{P(3=ヤギ|1=車)P(1=車)}{P(3=ヤギ)}
と書くことができます。この式の左辺は「3のドアがハズレ(ヤギ)という情報が与えられた時の、1にアタリ(車)が入っている確率」と解釈できます。この数式の右辺の一つ一つに実際の確率を代入してみます。
P(3=ヤギ|1=車)=\frac{1}{2}
1のドアが車である場合に3のドアがヤギである条件付き確率は、2のドアか3のドアを司会者がランダムに選ぶはずなので$ \frac{1}{2} $となります。
```math P(1=車)=\frac{1}{3} ```何も知らない状態ではそれぞれのドアに車がある確率は等確率と考えられるので確率は$ \frac{1}{3} $となります。
```math P(3=ヤギ)=P(3=ヤギ|1=車)P(1=車)+P(3=ヤギ|2=車)P(2=車)\\ =\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}+1\times\frac{1}{3}=\frac{1}{2} ```この確率は周辺確率という考えを使うと求まります。
>参考 [Wikipedia(周辺分布)](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%91%A8%E8%BE%BA%E5%88%86%E5%B8%83)よって
```math P(1=車|3=ヤギ)=\frac{\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3} ```この結果より
```math P(2=車|3=ヤギ)=1-P(1=車|3=ヤギ)=\frac{2}{3} ```以上より自分が1のドアを選んだ場合には2のドアに変更したほうが2倍も高い確率でアタリの車を手に入れられます！
まとめ
ベイズの定理を使うことでスッキリと確率を求めることができました！シミュレーションなどで頻度論的に確率を求めてみるのも面白いかもしれません。