自分はmacOS 13.5.1（Ventura）のターミナルから接続していますが、AWS CLIの ecs execute-command を使用して、ECS (Fargate) で起動中のコンテナにログインする方法です。なお、AWS CLI は既に導入されている前提で書いています。

以下の内容は、各自の情報に置き換えてください。

{cluster_name} ... クラスター名
{task_id} ... タスクID
{container_name} ... コンテナ名

コマンド入力

aws ecs execute-command --cluster {cluster_name} --task {task_id} --container {container_name} --interactive --command "/bin/bash"

接続できました！

terminal

The Session Manager plugin was installed successfully. Use the AWS CLI to start a session.

Starting session with SessionId: ecs-execute-command-xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
bash-4.3#

接続できない場合

先ほどのコマンドで接続できず、以下のような表示になる場合は、セッションマネージャーのプラグインを先にインストールすることが必要です。

terminal

SessionManagerPlugin is not found. Please refer to SessionManager Documentation here: http://docs.aws.amazon.com/console/systems-manager/session-manager-plugin-not-found

エラー表示に書かれているのはセッションマネージャープラグインが見つからない場合の対処方法（AWS公式）です。ここから各自の状況に合わせた対応をしていきます。
AWS docs - Session Manager プラグインが見つからない

自分はリンク先の、リンク先の、さらにリンク先にあるこちらを参考にしました。
AWS docs - AWS CLI 用の Session Manager プラグインをインストールする
　→　macOS での Session Manager プラグインのインストール

基本的には上記ページに書かれた通り、コマンドを以下の順に実行しただけです。

コマンド入力

## 1. バンドルされたインストーラをダウンロードします。
 
curl "https://s3.amazonaws.com/session-manager-downloads/plugin/latest/mac/sessionmanager-bundle.zip" -o "sessionmanager-bundle.zip"

## 2. パッケージを解凍します。

unzip sessionmanager-bundle.zip

## 3. インストールコマンドを実行します。

sudo ./sessionmanager-bundle/install -i /usr/local/sessionmanagerplugin -b /usr/local/bin/session-manager-plugin

## 4. インストールが成功したことを確認します。

session-manager-plugin

terminal

##（インストールが成功すると、次のメッセージが返されます。）

The Session Manager plugin is installed successfully. Use the AWS CLI to start a session.

Session Manager プラグインのインストールを検証する

ECSのコンテナにCLIでログインする際に使用する、セッションマネージャープラグインが導入されているかどうかを session-manager-plugin のコマンドで確認しましたが、自分の環境で厳密には以下の表示になりました。（is → was でちょっとだけ違う）

terminal

The Session Manager plugin was installed successfully. Use the AWS CLI to start a session.

ログインできない場合

クラスター名が間違っているなどでコンテナにアクセスできないときは、以下のようなエラーが出ます。入力した情報に誤りがないか確認してみてください。

terminal

An error occurred (ClusterNotFoundException) when calling the ExecuteCommand operation: Cluster not found.

クラスター名、タスクID、コンテナ名などの確認方法は、現時点ではいったん割愛します。

参考URL

ECS のタスク ID もしくは TaskARN を取得する方法を教えてください
 ECSにSSMでアクセスするの際のコマンドを少し便利にするスクリプト
 AWS ECS Execに必要なTask IDをコマンドラインから取得
 【ECS】【Fargate】TASK実行container内でTask ID を取得するスクリプト
 ECSとECRの環境構築