点電荷−永久双極子間相互作用

$Z$の点電荷と$\mu$の双極子間の相互作用は次のようになります。

F(r, \theta) = -\frac{1}{4 \pi \epsilon} \frac{Z \mu \cos{\theta}}{r^2}

$r$が点電荷−双極子間の距離、$\theta$が双極子の角度、$\epsilon$が誘電率です。状況としては以下のイメージです。

プロット

プロットの関数を示します。今回は電気素量を$e$とした時、$Z=+e$, $\mu=1 \times 10^{-10} \times e$の系を考えて、$r=[1\times 10^{-10}, 4\times 10^{-10}]$、$\theta=[0, 180]$の範囲でプロットしてみます。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

e = 1.60e-19
Z = 1
q = 1
l = 1e-10
mu = q*l
ep = 8.85e-12

theta = np.linspace(0, 180, 100)
r = np.linspace(1e-9, 4e-9, 100)

R, Theta = np.meshgrid(r, theta)

F = - Z * mu * np.cos(np.deg2rad(Theta)) / (4 * np.pi * ep) * (1 / R**2)

contourf_level = 15

# color map
fig, ax = plt.subplots()
contf = ax.contourf(R*1e9, Theta, F, contourf_level)

#contour
cont = ax.contour(R*1e9, Theta, F, levels=contourf_level, colors="k")
ax.clabel(cont, fmt='%1.2g', fontsize=12)

plt.xlabel("R (nm)", fontsize=20, color='black')
plt.ylabel(r"$\theta$ ($^{\circ}$)", fontsize=20, color='black')
plt.colorbar(contf, label="F (N)")
plt.subplots_adjust(left=0.15, right=0.95, bottom=0.15, top=0.95)

plt.show()

以下がプロットの結果です。

$r$が小さくて、$\theta$が0に近い時は引力が働いて、$\theta$が180に近いときは斥力が働いています。$\theta=90$のとき働く力はいつでも0です。計算としてはよさそうです。

想定としては、一価の陽イオンが、数nmの距離にある、長さ1 Åで$e$だけ電荷が偏った直線分子から受ける力を考えていました。結果としては、$1\times 10^{17}$Nほどの大きな値になってしまって、明らかに大きすぎる気がします。意外に、クーロン力ってそれだけ大きな力なのかもしれません。