初めに

この記事は「リレーショナルデータベース入門第３版」の第２章の一部をまとめたものです。
リレーションの例などは徹底攻略データベーススペシャリスト教科書令和4年度で用いられている具体例を参考にしています。

ドメインとリレーション

ドメインとは集合（＝異なる元の集まり）である。
例えば人名の集合、年齢の集合、整数の集合といったものもドメインである。
ドメインは一般にDで表すことにする。例えば以下のようなものがドメインである。

D_{1} = \{x | xは人名\}, D_{2} = \{1,2,3,4,5\},

n個のドメインD1,...,Dnの直積は次のようなものである

D_{1}×\ldots　×D_{n}　＝　\{(x_{1} \ldots x_{n}) | x_i \in D_{i} (i=1...n)\}

つまり各ドメインの全ての組み合わせを直積と言う
この直積集合の各要素をタプルという。

定義（リレーション）

D_{1}\ldots　D_{n}をドメインとする。\\
D_{1}\ldots　D_{n}の上のリレーションRとは、\\
直積D_{1}×\ldots　×D_{n}の任意の部分集合のことを言う

ここでRのタプルの総数のことを濃度と言う。また、Rを構成するドメインの数のことを次数という。次数rのリレーションのことをr項リレーションという。
リレーションは表として表現することができる。例えばD1={a,b,c},D2={10,20}としてR＝{(a,10),(b,20),(c,10)}とすれば、以下のように表現できる。

a	10
b	20
c	10

表の横の並びを行、縦の並びを列という。
この表のままでは、初めて参照した人が何の表なのか理解することができない。
そこで列の名前である属性名と表の名前であるリレーション名を与えると、以下のようにわかりやすくなる

兄弟

名前	年齢
a	10
b	20
c	10

属性名を用いて新たにリレーションを定義する。
ドメインD1...Dnの上のリレーションRの属性名をA1...Anとし、
ドメイン関数dom: {A1,..,An} → {D1,..,Dn}をdom(Ai)=Diと定義すると、
リレーションRはdom(A1)×...×dom(An)の任意の部分集合であると定義できる。

リレーションには新しいタプルが挿入・更新されたり削除されたりする。
つまり、タプルの値は変化していくものである。一方で属性やリレーション名は不変のものである。
そこで時間的に不変なリレーションの枠組みのことをリレーションスキーマとして規定する。リレーション名R、属性名A1...Anを用いてリレーションスキーマのことをR (A1...An)で表す。この時、dom(A1)×...×dom(An)の部分集合のことをリレーションスキーマRのインスタンス、単にリレーションといったりする。（リレーションスキーマは時間tに対して変化するリレーションRtの集合みたいなイメージ）

候補キーと主キー

リレーションRに対し、Ωで全属性集合{A1....An}を表す。
また、t={a1...an}をリレーションRのタプルとするとき、aiを「tのAi値」といい、t[Ai] とかく。
より一般に、複数の属性X = {Ai_1....Ai_k}の場合は{ai_1...ai_k}を「tのX値」といい、t[X]とかく。

この書き方を理解するために以下の具体例であるリレーションRを用いる。

具体例：リレーション R「伝票」

伝票番号	顧客名	顧客番号	商品番号	商品名	数量
1001	ねこ商事	11	2001	チョコ	5
1001	ねこ商事	11	2002	キャラメル	10
1002	うさぎ開発	13	2001	チョコ	7
1002	うさぎ開発	13	2003	ドーナツ	20
1002	うさぎ開発	13	2004	アメ	8
1003	くま工業	29	2005	ちんすこう	30
1004	くま工業	29	2005	ちんすこう	100

この場合、
A1,A2,A3,A4,A5,A6はそれぞれ伝票番号,顧客名,顧客番号,商品番号,商品名,数量であり、
全属性集合Ωは{伝票番号,顧客名,顧客番号,商品番号,商品名,数量}である。
タプルtを{1002,うさぎ開発,13,2001,チョコ,7}とすると、t[A2]=うさぎ開発である。
また、X＝{商品番号,商品名,数量}という全属性集合Ωの部分集合とすると、t[X]={2001,チョコ,7}である。

さてこの表記をもとに、各種キーの定義をする。

定義（候補キー）

リレーションスキーマ\textit Rの属性集合Kが候補キーであるとは、　\\
\textit Rの任意のインスタンスRに対して、以下が成り立つことである\\
1.\quad \forall t,s \in R \quad t[K]=s[K] \Rightarrow　t=s \\
2.\quad Kの全ての真部分集合Hに対して1.が成立しない。

つまり、候補キーに当たる属性の値が一致すれば、行の値全てが一致する（一意に決まる）ということである。さらにその属性の組み合わせが極小になっている（それ以上分解しても行を一意に決定するキーになり得ないと言うこと）。
なお、１の条件のみを満たす属性集合KはRのスーパキーという。

先の具体例で言うと、候補キーKは{伝票番号,商品番号}、{伝票番号, 商品名}が該当する。
実際、任意のタプルt,sに対して、それらの値t[K],s[K]が一致すれば、タプルt,sは必ず同じ行にしかなり得ない（例えばK＝{伝票番号,商品番号}とした時、Kの値を(1001,2002)にしても(1004,2005)にしても何にしても、行が必ず一意に定まる）。

さて、主キーを候補キーから一つ選ぶ（意味的に最も大事なものを選ぶ）。主キーは次のキー制約を満たす必要がある（逆に言えば、主キーは次のキー制約を満たす候補キーである必要があると言える）

定義（キー制約）

キー制約とは、リレーションスキーマ\textit Rの属性集合Kを候補キーとしたときに　\\
\textit Rの任意のインスタンスRに対して、以下が成り立つことである\\
1.\quad \forall t,s \in R \quad t[K]=s[K] \Rightarrow　t=s \\
2.\quad　\forall t\in R　　\forall A\in K \quad t[A]は-でない

すなわち、一意識別能力を持ち、かつNULLにならない条件のことをキー制約という。
（候補キーである時点で1.は満たしてるので、わざわざ書く必要がないと思うが、一応書いた。）

これらを定義を用いて、リレーショナル代数や正規化についてまとめていく。

参考

・リレーショナルデータベース入門第３版
・徹底攻略データベーススペシャリスト教科書令和4年度