Help us understand the problem. What is going on with this article?

統計基礎について備忘録

統計

初投稿です。備忘録として
間違いや指摘があれば言ってください。

1.検定統計量

μ:母平均,σ:母標準偏差, \\
\overline{X}:標本平均,s:標本標準偏差,u:不偏標準偏差,\\
n:サンプルサイズ

<1標本>

母平均の検定

母分散σ^2が既知
・母分散が既知の場合、母分散σを用いて、標準誤差(標本平均の標準偏差)は$σ/\sqrt{n}$
で表せる。
・標本平均を標準化したzは以下のように表され、標準正規分布に従う。

z = \frac{\overline{X}-μ}{σ/\sqrt{n}} \sim N(0,1)\\
σ/\sqrt{n}:標準誤差

<検定>有意水準5%で両側検定を行う場合、|z|>1.96の時が棄却域となる。

母分散σ^2が未知
母分散σ^2が未知の時、不偏推定量uを用いる、検定統計量t は自由度n-1のt分布に従う。

t = \frac{\overline{X}-μ}{u/\sqrt{n}} \sim t(n-1)\\
u/\sqrt{n}:標準誤差

母分散の検定

検定統計量χ^2は 自由度n-1のχ^2分布に従う。

χ^2 = \frac{(n-1)u^2}{σ^2} \sim χ^2(n-1)

母比率の検定

平均0, 分散σ^2の標準正規分布に従う

z = \frac{\hat{p}-p}{\sqrt{p(1-p)/n}} \simeq N(0,1)\\
 \sqrt{p(1-p)/n}: 標準誤差

<2標本>

母平均の差の検定

母分散σ^2が既知

d = \overline{x} -\overline{y}, δ = μ_x - μ_y\\

z = \frac{d-μ}{\sqrt{ \frac{σ_1^2}{n}+\frac{σ_2^2}{m} }} \sim N(0,1)\\
\sqrt{ \frac{σ_1^2}{n}+\frac{σ_2^2}{m} }:標準誤差

母分散σ^2が未知、等分散
母分散σ^2が未知の時、不偏推定量uを用いる、検定統計量t は自由度n-1のt分布に従う。
ここで、普遍分散$u^2$は$\frac{(S_x + S_y)}{(n_x-1)+(n_y-1)}$で求められる。

d = \overline{x} -\overline{y}, δ = μ_x - μ_y\\

t = \frac{d-μ}{\sqrt{ \frac{1}{n}+\frac{1}{m} }u} \sim N(0,1)\\
\sqrt{ \frac{1}{n}+\frac{1}{m} }u:標準誤差


<対応のある2標本>

母平均の検定

差をとり母平均の検定に帰着させる
検定統計量t は自由度n-1のt分布に従う。

d_i = x_i - y_i\\
\overline{d}:差の平均, \hat{σ}^2:差の不偏分散\\
t = \frac{\overline{d}-δ}{\hat{σ}/\sqrt{n}} \sim t(n-1)\\
\hat{σ}/\sqrt{n}:標準誤差

母分散の比の検定

分散は正の値をとるので比の形で検定を行う

・χ_1^2 = \frac{(n-1)u_x^2}{σ_x^2} \sim χ^2(n-1)\\
・χ_2^2 = \frac{(m-1)u_y^2}{σ_y^2} \sim χ^2(n-1)\\

--------
\\
F = \frac{χ_1^2(n-1)}{χ_2^2(m-1)} = \frac{u_x^2・σ_y^2}{u_y^2・σ_x^2} \sim F(n-1, m-1)\\
等分散の場合 σ_x^2 = σ_y^2 = σ^2\\
F = \frac{χ_1^2(n-1)}{χ_2^2(m-1)} = \frac{u_x^2}{u_y^2} \sim F(n-1, m-1)\\

母比率の差の検定

差をとることで1標本の時と似た形式に、ただし標準誤差に注意!

\hat{p} = p_1 - p_2\\

z = \frac{\hat{p}-p}{\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n}+\frac{p_2(1-p_2)}{m}}} \simeq N(0,1)\\
\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n}+\frac{p_2(1-p_2)}{m}}: 標準誤差
bookbridge_k
初心者
Why not register and get more from Qiita?
  1. We will deliver articles that match you
    By following users and tags, you can catch up information on technical fields that you are interested in as a whole
  2. you can read useful information later efficiently
    By "stocking" the articles you like, you can search right away