オイラーの方程式を解く

ごくごく単純なオイラーの方程式を解いて見ます。
かんたんすぎるので知っている人にはすごく退屈だと思います。

オイラーの方程式とは

オイラーの方程式とは次のような同次微分方程式のことを言います。

x^n y^{(n)} + a_1x^{n-1}y^{(n-1)}+・・・+a_{n-1}xy^{(1)}+a_ny=0

ここでyの右肩添字は微分回数を示しています。
具体的にはこんな微分方程式と今日出会いました。

f^{(4)}+\frac{2}{r}\cdot f^{(3)}-\frac{9}{r^2}\cdot f^{(2)}+\frac{9}{r^3}f^{(1)}=0

ここで両辺にr^4をかけるとオイラーの方程式になることに気づければ勝ちです。

r^4f^{(4)}+2r^3 f^{(3)}-9r^2\cdot f^{(2)}+9rf^{(1)}=0

ここまでできれば

f=r^\lambda

を上式に代入することで以下を得る。

r^4\lambda(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3)r^{\lambda-4}+2r^3 \lambda(\lambda-1)(\lambda-2)f^{(3)}r^{\lambda-3}-9r^2\lambda(\lambda-1) f^{(2)}r^{\lambda-2}+9r\lambda f^{(1)}r^{\lambda-1}=0

すべての項にr^λが共通しているので、両辺をr^λで割り、λを整理すると以下の式が得られます。

\lambda(\lambda+2)(\lambda-2)(\lambda-4)=0

よってλは0,-2,2,4となります。
これでfの一般解は次のようになります。

f=C_1r^2+C_2r^4+\frac{C_3}{r^2}+C_4

以上です。
自分用メモですが誰かの役に立てたなら光栄です。
今後も勉強を継続し、皆様に有益な情報を発信できるエンジニアになりたいですね。