メモがてらに微分方程式について復習をしたので記録しておきます。
今回出会ったのはこんな式
D^2(D-2)^2\phi=0\\
ここで\\
D=\frac{d}{dt}
このときの一般解を求めよって感じですね。
まずこの式が成り立つには二つの場合があります。
１つめは
D^2\phi=0
２つめは
(D-2)^2\phi=0
１つめに関しては両辺を２回積分してやって
\phi=C_{1}+C_{2}t
ですね。Cは任意の定数です。２つ目に関しては
\phi=e^{\lambda t}
としてやって特性方程式を立てれば、λ=2(！重解）が得られます。
なので、２つ目の式を満たすφは
\phi=e^{2t}(C_{3}+C_{4}t)
となる。重解の場合は上式のように、任意定数の一つにtがかかります。
微分方程式の一般解はそれぞれを足し合わせれば良いので
\phi=C_{1}+C_{2}t+ e^{2t}(C_{3}+C_{4}t)
これで良いはずです。まだまだ未熟者ですので間違っていたりしたらご指摘ください。