x + y = a \\
x - y = b \\
として、x, y を a,b で表すと \\
x = \frac{a + b}{2} \\
y = \frac{a - b}{2} \\

\\\
\begin{array}{ll}

\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \\
\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y \\
\\
\\
両辺を足すと、\\
\sin(x + y) + \sin(x - y) = 2 \sin x \cos y \\
上記の関係から、\\
\sin a + \sin b = 2 \sin \frac{a + b}{2} \cos \frac{a - b}{2} \\
\therefore \sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2} \\
\\
両辺を引くと、\\
\sin(x + y) - \sin(x - y) = 2 \cos x \sin y \\
\therefore \sin x - \sin y = 2 \cos \frac{x + y}{2} \sin \frac{x - y}{2} \\
\\
\\
同様に、\\
\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \\
\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y \\
\\
\\
両辺を足すと、\\
\cos(x + y) + \cos(x - y) = 2 \cos x \cos y \\
\therefore \cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2} \\
\\
両辺を引くと、\\
\cos(x + y) - \cos(x - y) = -2 \sin x \sin y \\
\therefore \cos x + \cos y = -2 \sin \frac{x + y}{2} \sin \frac{x - y}{2} (マイナスに注意)\\

\end{array}