正弦定理の証明
※円周角の定理（同じ弧に対する円周角は同じ角度になる）
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角Ａが鋭角の場合
\\
\begin{array}{l}
半径Ｒとする円に内接する三角形ＡＢＣがあるとする。\\
点Ｂから中心Ｏを通る線を引き、円との交点をＤとする。\\
円周角の定理より \angle A = \angle D \\
\\
ＢＤは直径（２Ｒ）であり、\angle C = \frac{\pi}{2} となり三角形ＢＣＤは直角三角形となる。\\
\sin D = \sin A = \frac{BC}{BD} = \frac{a}{2R} (\angle A の対辺BCを a とする) \\
\therefore \sin A = \frac{a}{2R} => \frac{a}{\sin A} = 2R \\
\\
\angle B, \angle C も同様なので \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \\
\end{array}
\\
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角Ａが直角の場合
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\begin{array}{l}
半径Ｒとする円に内接する三角形ＡＢＣがあるとする。\\
辺ＢＣは直径（２Ｒ）となるので、a = 2R (\angle A の対辺BCを a とする) \\
\sin A = \sin \frac{\pi}{2} = 1 \\
\therefore \frac{a}{\sin A} = 2R \\
\\
\angle B, \angle C も同様なので \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \\
\end{array}
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角Ａが鈍角の場合
\\
\begin{array}{l}
半径Ｒとする円に内接する三角形ＡＢＣがあるとする。\\
点Ｂから中心Ｏを通る線を引き、円との交点をＤとする。\\
四角形ＡＢＣＤは円に内接するので \angle D = \pi - \angle A \\
\\
ＢＤは直径（２Ｒ）であり、\angle C = \frac{\pi}{2} となり三角形ＢＣＤは直角三角形となる。\\
\sin D = \sin (\pi - \angle A) = \sin A \\
\sin D = \frac{BC}{BD} = \frac{BC}{2R} = \frac{a}{2R} (\angle A の対辺BCを a とする) \\
\therefore \sin A = \frac{a}{2R} => \frac{a}{\sin A} = 2R \\
\\
\angle B, \angle C も同様なので \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \\
\end{array}
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