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物理公式（力学）

• ニュートン$[N]$：1.0 $N$ は質量 1.0 $kg$ の物体に $1.0 m / s^2$ の加速度を生じさせるような力
  $$=> F = ma $$

• 重力加速度[$m/s^2$]： $ g = 9.8 m/s^2 $

• フックの法則：ばねの伸び縮みの長さを $x [m]$ 、弾性力の大きさを $F [N]$ とすると
  $$=> F = kx $$

• 摩擦力： 摩擦力を $F$ とすると、摩擦係数 $\mu$ と 垂直抗力 $N$ とすると
  $$=> F = \mu N $$

  • 最大静止摩擦力： 最大静止摩擦力を $F_0$ 、垂直抗力を $N$ とすると
    $$=> F_0 = \mu N $$
    ※このときの $\mu$ を静止摩擦係数という。あくまでも静止摩擦力が最大のときの係数
  • 動摩擦力： 動摩擦力を $F'$ 、垂直抗力を $N$ とすると
    $$=> F' = \mu' N $$
    ※このときの $\mu'$ を動摩擦係数という。

• 圧力：単位面積当たりに掛かる力。量記号は P を用います。力を $F [N]$ 、面積を $S [m^2]$ とすると
  $$=> P = F / S [Pa]=[N/m^2]$$

  • 流体の圧力： 深さ $h [m]$、重力加速度 $g=9.8[m/s^2]$、密度 $\rho [kg/m^3]$ とすると
    $$=> P = \rho hg [Pa]$$
  • 浮力： 流体の密度を $ρ [kg/m^3]$、物体の体積を $V [m^3]$、重力加速度 $g=9.8[m/s^2]$ とすると
    $$=> F = \rho V g [N]$$

• 力のモーメント：作用する力の大きさが $F [N]$、腕の長さを $l [m] (= r \sin \theta)$、 左回り（反時計回り）を正とすると
  $$=> M = Fl = Fr \sin \theta [N \cdot m]$$

• 等加速度直線運動： 加速度が一定の運動を等加速度運動といいます。このうち、直線上の運動である場合を等加速度直線運動といいます。
  直線上を一定の加速度 $a [m/s^2]$ で進む物体の運動を考えたとき、
  時刻 $t=0 [s]$ のときの速度（=初速度）を $v_0 [m/s]$ とすると、加速度 $a [m/s^2]$ というのは1秒当たり $a [m/s^2]$ ずつ速度が増すという意味だから、$t [s]$ 後の速度 $v [m/s]$は
  $$ v = v_0 + at $$
  変位 $x [m]$ は
  $$ x = v_0t + \frac{1}{2} at^2$$
  上記２式から時間 $t$ を含まない式にすると、
  $$ v^2 - v_0^2 = 2ax $$

  • 等加速度直線運動（初速度:$v_0$　加速度:$a$）※基本
    • 速度：$v = v_0 + at$
    • 変位：$x = v_0t + \frac{1}{2}at^2$
    • tなし：$v^2 - v_0^2 = 2ax$
  • 自由落下運動（初速度:$v_0=0$　加速度:$g=重力加速度$）
    • 速度：$v = gt$
    • 変位：$y = \frac{1}{2}gt^2$
    • tなし：$v^2 = 2gy$
  • 鉛直下方投射（初速度:$v_0$　加速度:$g=重力加速度$）
    • 速度：$v = v_0 + gt$
    • 変位：$y = v_0t + \frac{1}{2}gt^2$
    • tなし：$v^2 - v_0^2 = 2gy$
  • 鉛直上方投射（初速度:$v_0$　加速度:$-g=重力加速度$）
    • 速度：$v = v_0 - gt$
    • 変位：$y = v_0t - \frac{1}{2}gt^2$
    • tなし：$v^2 - v_0^2 = -2gy$
  • 水平投射（X軸方向：[初速度:$v_0$　加速度:$0$]の等加速度運動とY軸方向：[初速度:$v_0=0$　加速度:$g=重力加速度$]の自由落下運動に分けて考える）
    • 速度： $v_x = v_0　v_y = gt$
    • 位置： $x = v_0t　y = \frac{1}{2}gt^2$
    • 軌道の式： $y = \frac{g}{2v_0^2}x^2$
  • 斜方投射（X軸との角度を$\theta$とし斜め上方の初速度$v_0$とする。
    X軸方向：[初速度:$v_0\cos\theta$　加速度:$0$]の等加速度運動とY軸方向：[初速度:$v_0=v_0\sin\theta$　加速度:$g=重力加速度$]の鉛直上方投射に分けて考える）
    • 速度： $v_x = v_0 \cos\theta　v_y = v_0 \sin\theta - gt$
    • 位置： $x = v_0 \cos\theta \cdot t　y = v_0 \sin\theta - \frac{1}{2}gt^2$
    • 軌道の式： $y = \tan\theta \cdot x - \frac{g}{2v_0^2 \cos^2\theta} x^2$

• 運動方程式： 加速度 $a [m/s^2]$ 、質量 $m [kg]$、のときの力を $F [N]$ とすると
  $$=> ma = F$$

• 仕事： 物体に一定の力 $F [N]$ を加え続けて、その力の向きに距離 $s [m]$ ＊だけ動かしたとき
  $$ W = F s [J] = [N \cdot m]$$

• 仕事率： 仕事を時間で割ったものが仕事率
  $$ P = \frac{W}{t} = Fv　[W] = [J/s]　※W = Fs, \frac{s}{t} = v$$

• 運動エネルギー：運動している速度 $v [m/s]$
  $$K = \frac{1}{2}mv^2 [J]$$

• 位置エネルギー: 高さ $h [m]$
  $$U = mgh [J]$$

• 弾性エネルギー： ばね定数 $k$
  $$U = \frac{1}{2}kx^2 [J]$$

• 力学的エネルギー保存の法則： 保存力のみがはたらく場合は
  $$運動エネルギー(K) + 位置エネルギー(U) = 力学的エネルギー(E) = 一定$$

• 運動量と力積

  • 運動量： 物体の運動量を $\vec{p}$ 、質量を $m [kg]$ 、速度を $\vec{v} [m/s]$ 、速度の向きが運動量の向きであると
    $$\vec{p} = m\vec{v} [kg \cdot m/s]$$

  • 力積： 力積を $\vec{I}$、加えた力を $\vec{F} [N]$ 、加え続けた時間を $\Delta t [s]$ 、加えた力の向きが力積の向きであると
    $$\vec{I} = \vec{F} \Delta t [N \cdot s]=[kg \cdot m/s]　※F=ma => [N] = [kg⋅m/s^2]$$

  • 物体の運動量の変化は、その間に受けた力積に等しい
    $$m\vec{v'} - m\vec{v} = \vec{F} \Delta t$$

• 円運動

  • 角速度：円運動において動径ベクトルが1秒間に回転する角度。回転の速さを表す量。$t [s]$秒間に $\theta [rad]$ だけ回転したときの角速度 $\omega [rad/s]$ は
    $$\omega = \frac{\theta}{t}　　\theta = \omega t$$

  • 半径 $r [m]$ の円周上を等速円運動する物体の動径ベクトルが $t [s]$秒間に $θ [rad]$ だけ回転したときの、物体が進んだ距離 $l [m]$
    $$l = r \theta$$

  • これを時間 $t$ で割って、周回する物体の速さ $v [m/s]$
    $$v = r \omega$$

  • 物体が等速円運動するとき、1周するのに要する時間 $T [s]$ を周期 => 距離/速さ
    $$T = \frac{2 \pi r}{r \omega} = \frac{2 \pi}{\omega}$$

  • 物体が1秒間に回転する回数を回転数 $n [Hz]$
    $$n = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2 \pi}$$

  • 等速円運動の加速度 $a$
    $$a = r \omega^2 = \frac{v^2}{r}$$

  • 向心力：等速円運動している物体の質量が $m [kg]$、このとき物体にはたらく力が $\vec{F} [N]$
    $$F = ma = mr \omega^2 = m \frac{v^2}{r}$$

• 単振動

  • 円運動で

    • 等速円運動の周期を $T [s]$
    • 角速度を $\omega [rad/s]$
    • 回転数を $f [Hz]$
    • 円の半径を $A [m]$

  • とすると

    • 1往復する時間（＝周期） $T [s]$
    • 1秒当たりの回転角（＝角周波数） $\omega [rad/s]$
    • 1秒当たりの往復数（＝周波数） $f [Hz]$
    • 単振動の振幅 $A [m]$

  • 等速円運動と単振動と正弦波の関係
    $$f = \frac{1}{T}$$
    $$\omega = 2 \pi f = \frac{2 \pi}{T}$$

  • 単振動の変位
    $$x = A\sin\omega t$$

  • 単振動の速度：単振動の速度 $v [m/s]$ は等速円運動の速さ $Aω$ を x軸に射影したもの
    $$v = A \omega \cos \omega t$$

  • 単振動の加速度：単振動の加速度 $a [m/s^2]$ は等速円運動の加速度 $Aω^2$ を x軸に射影したもの
    $$a = -A \omega^2 \sin \omega t = - \omega^2 x$$

  • 単振動を引き起こす力=復元力： 運動方程式 $ma = F$ から
    $$F = ma = m(- \omega^2 x) = -m \omega^2 x$$