余弦定理の証明
角Ａが鋭角の場合
- 頂点Ｃから辺ＡＢに垂線を下ろし、交点をＨとする。
\\
\begin{array}{l}
直角三角形 \triangle ACH において、\\
CH = b \sin A \\
AH = b \cos A \\
となる。\\
\end{array}
\\
直角三角形 \triangle BCH において三平方の定理より、\\
\begin{array}{rl}
BC^2 &= CH^2 + BH^2 = CH^2 + (AB - AH)^2\\
a^2 &= (b \sin A)^2 + (c - b \cos A)^2\\
&= (b^2 \sin^2 A) + (c^2 -2bc \cos A + b^2 \cos^2 A)\\
&= b^2(\sin^2 A + \cos^2 A) + c^2 - 2bc \cos A\\
&= b^2 + c^2 - 2bc \cos A\\
\end{array}
角Ａが直角の場合
- $\angle A$ が直角の場合
\\
\begin{array}{l}
&\cos A = \cos \frac{\pi}{2} = 0 \\
\\
&三平方の定理より、\\
&a^2 = b^2 + c^2\\
\\
&a^2 = b^2 + c^2 = b^2 + c^2 -2bc \cos A\\
\end{array}
角Ａが鈍角の場合
- 頂点Ｃから辺ＡＢの延長上に垂線を下ろし、交点をＨとする。
\\
\begin{array}{l}
直角三角形 \triangle ACH において、\\
CH = b \sin(\pi - A) = b \sin A \\
AH = b \cos(\pi - A) = -b \cos A \\
となる。\\
\end{array}
\\
直角三角形 \triangle BCH において三平方の定理より、\\
\begin{array}{rl}
BC^2 &= CH^2 + BH^2 = CH^2 + (AB + AH)^2\\
a^2 &= (b \sin A)^2 + (c - b \cos A)^2\\
&= b^2 \sin^2 A + c^2 -2bc \cos A + b^2 \cos^2 A\\
&= b^2(\sin^2 A + \cos^2 A) + c^2 - 2bc \cos A\\
&= b^2 + c^2 - 2bc \cos A\\
\end{array}