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物理の公式（電磁気学）

単位まとめ

• 単位一覧

静電気

• クーロンの法則： $q1 [C]$ の荷電粒子と $q2 [C]$ の荷電粒子が、距離 $r [m]$ のときに働く力（静電気力=クーロン力） $F [N]$
  $$F = k \cdot \frac{q1 \cdot q2}{r^2}$$

• 電場： $1 C$ の電荷をその地点に置いたときの静電気力
  $$\vec{F} = q \vec{E}　\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q}$$

  • 点電荷のまわりの電場
    $$E = \frac{F}{q_0} = \frac{k \cdot \frac{q_0 \cdot q}{r^2}}{q_0} = k \cdot \frac{q}{r^2} $$

• 電気力線： 電場の強さが $E [N/C]$ の場所は、$1m^2$ 当たり $E$ 本の電気力線を書く
  $$E [N/C] の電場には、E [本/m^2] の電気力線$$

• ガウスの法則： 総量 $Q [C]$ の電荷から出る電気力線の総数は $4 \pi kQ$ 本
  $$+Q[C] から r[m] にある電場は E = k \cdot \frac{Q}{r^2}　
  電場は半径 r [m] の球状に広がっているから全電気力線の数は 4 \pi r^2 \cdot E = 4 \pi kQ [本]$$

• 一様な電場での位置エネルギー： 基準の位置から電荷を動かすときの仕事の量 = 受けた力ｘ移動した距離
  $一様な電場 E [N/C] に置かれた +q [C] の電荷（qEの力を受ける）が d [m] 進むと、そのときの仕事 W = qE \cdot d　[J]$
  $$U = qEd　[J]$$

  • 重力による位置エネルギーとの対比： $q \Leftrightarrow m, E \Leftrightarrow g, d \Leftrightarrow h$
    $U = qEd$
    $U = mgh$

• 電位：一様な電場での位置エネルギーで、重力による位置エネルギーの $g（重力加速度）$ とは違って $E$ が変位する。そのため $Ed$ を目安とする。=> $+1 C$ の電荷の位置エネルギー
  $$V = Ed　[V] = [N/C \cdot m]$$

  • 単位の整理
    $U = qEd　V = Ed　U = qV$
    $E = \frac{V}{d}　[N/C] = [V/m]$
    $V = \frac{U}{q}　[V] = [J/C]$

• 点電荷による電位
  $点電荷 +q [C] が r [m] 離れたところに働く力は F = k \cdot \frac{q}{r^2} これが r [m] までする仕事はrでの積分となり$
  $$位置エネルギー(U) = k \cdot \frac{q}{r} => これは +1C の位置エネルギーなので V = k \cdot \frac{q}{r}$$

• コンデンサ

  • 極板に $Q[C]$ の電荷が蓄えられているときの電気力線数は、 $4 \pi k Q[本]$ ※１枚の極板からは上下に電気力線が出て半分になるが、２枚の間と考えるともう一方の極板からの電気力線があるので。
  • 極板間の電場の強さを $E [V/m]$、極板の面積を $S[m^2]$ とすると、極板間の電気力線数は、$ES[本]$
    $$4 \pi kQ = ES$$
  • 極板間の電場は一様なので、極板間の距離を $d [m]$ とすると、$V = Ed => E = V/d$
  • $4 \pi kQ = ES = \frac{S}{d}V => Q = \frac{1}{4 \pi k}\frac{S}{d}V$
  • 電気容量： $C = \frac{1}{4 \pi k}\frac{S}{d} [F]$ とすると
    $$Q = CV$$
  • 誘電率： $\epsilon = \frac{1}{4 \pi k} [F/m]$ とすると
    $$C = \epsilon \frac{S}{d}$$
  • コンデンサの静電エネルギー
    $$U = \frac{1}{2}QV = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}$$
  • 合成容量
    • 並列：$C = C_1 + C_2$
    • 直列：$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$

• 電流： 1 秒間に $1C$ の電荷が流れるときの電流の大きさ。$t [s]$ の間に $q [C]$ の電荷が流れるときの電流の大きさ $I [A]$
  $$I = \frac{q}{t}　[A] = [C/s]$$

• 電流： 自由電子は1個当たり $-e [C]$、断面積 $S [m^2]$、自由電子の平均速度 $v [m/s]$、自由電子の数密度 $n [個/m^3]$ のときの電流 $I [A]$
  $$I = envS [A]$$

• 電気抵抗： 断面積 $S [m^2]$、長さ $l [m]$、自由電子の数密度 $n [個/m^3]$ の導線の両端に、$V [V]$ の電圧を掛けたとする

  • 1個の自由電子に掛かる力 $F_e [N]$ は、電場を $E [N/C]$ とすると $F_e = eE$
  • $V = Ed$ より $V = El => E = \frac{V}{l} => F_e = e \frac{V}{l}$
  • 抵抗力は自由電子の平均の速さ $v$ に比例し、比例定数を $k$ とすると抵抗力は $kv [N]$ ※ここがいまいちわからん
  • $e \frac{V}{l} = kv => v = \frac{eV}{kl}$
  • $I = envS = en(\frac{eV}{kl})S = (\frac{e^2nS}{kl})V => 電流は電圧に比例する$
  • $\frac{1}{R} = \frac{e^2nS}{kl} => R = \frac{kl}{e^2nS}$　Rが大きくなると電流が流れにくくなる=>抵抗
  • $R = \frac{kl}{e^2nS} = \frac{k}{e^2n}\frac{l}{S} = \rho \frac{l}{S}　[\Omega]$　=> 抵抗率 $\rho = \frac{k}{e^2n} [\Omega \cdot m^2/m => \Omega \cdot m]$ とする

• ジュールの法則： 抵抗 $R [Ω]$ の導線を電圧 $V [V]$ の電源につなぎ、$I [A]$ の電流を $t [s]$ 間流した

  • $I = \frac{q}{t} => q = It$
  • $電場が電荷を運ぶ仕事 W [J] は W = qEd = qV = ItV = IVt$
    $$Q = IVt = I^2Rt = \frac{V^2}{R}t　[J]$$
  • 断面積 $S [m^2]$、長さ $l [m]$、自由電子の平均の速さ $v [m/s]$、自由電子の数密度 $n [個/m^3]$ の導線の両端に、$V [V]$ の電圧を掛けたとする。
    自由電子は電場の力を受けて加速し、そして陽イオンにぶつかって減速し、トータルで一定のスピードで進んでいくわけです。一定のスピードということは自由電子の運動エネルギーは増えていません。自由電子は電場からエネルギーをもらってそれを全部、陽イオンにあげるのです。陽イオンの振動、つまり熱になるのです。これがジュール熱です。（今は導線について考えているので、自由電子のエネルギーは全部ジュール熱になる、とみなしますが、もしモーターであれば回転エネルギーに変わるし、電球だったら光エネルギーに変わります。）
    個々の自由電子が受ける力は $F_e = e\frac{V}{l}$ です。$t$ 秒間に進む距離は $vt$ です。
    エネルギーは力×距離なので、$e\frac{V}{l} \times vt$ がエネルギー
    自由電子の総数は $nlS$ 個です。
    $熱エネルギーの総量 Q = e\frac{V}{l} \times vt \times nlS = envS \times Vt = IVt [J]$

• 電力量： 電気のエネルギーがする仕事（＝電荷の位置エネルギーの減少分＝電流のする仕事）のこと
  $$W = Q = IVt [J]$$

• 電力： 電流が単位時間当たりにする仕事のこと
  $$P = \frac{W}{t} = IV = I^2R = \frac{V^2}{R}　[W]$$

• 単位のまとめ

  • $P = \frac{W}{t} = IV = I^2R = \frac{V^2}{R}　[W] = [J/s] = [A \cdot V] = [A^2 \Omega] = [V^2/ \Omega]$
  • $W = Wt = IVt = I^2Rt = \frac{V^2}{R}t　[J] = [Ws] = [AVs] = [A^2 \Omega s] = [V^2 s/ \Omega]$

• 直列と並列での合成

  • 抵抗
    • 直列： $R = R_1 + R_2$
    • 並列： $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$
  • コンデンサ
    • 直列： $\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$
    • 並列： $C = C_1 + C_2$
  • ばね
    • 直列： $\frac{1}{K} = \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2}$
    • 並列： $K = K_1 + K_2$

• 分流器： 元の電流計の内部抵抗を $r_A [Ω]$、分流器の抵抗を $R_A [Ω]$、拡大する倍率を $n$　※電流計には電流を流したくないので抵抗を高くする => $r_A > R_A$
  $$r_A = (n - 1)R_A$$

• 倍率器： 元の電圧計の内部抵抗を $r_V [Ω]$、倍率器の抵抗を $R_V [Ω]$、拡大する倍率を $n$　※電圧計には電圧を高くしたくないので抵抗を低くする => $r_V < R_V$
  $$R_V = (n - 1)r_V$$

磁気

• 磁気量(Wb)
  • 静電気との比較

	電場	磁場
起点	電荷	磁極
種類	正電荷、負電荷	N極、S極
量	電気量[C]	磁気量[Wb]
はたらく力	静電気力	磁気力
クーロン力	$F = k \frac{q_1q_2}{r^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{r^2}$	$F = k_m \frac{m_1m_2}{r^2} = \frac{1}{4 \pi \mu_0}\frac{q_1q_2}{r^2}$
通しやすさ	誘電率 $\varepsilon = \frac{1}{4 \pi k} [F/m]$	透磁率 $\mu = \frac{1}{4 \pi k_m} [N/A^2]$
単位の出処	$C [F]= \varepsilon \frac{S[m^2]}{d[m]}$	$F [N]= \mu I[A] H[A/m] l[m]$
場の大きさ	$\vec{F} = q\vec{E}　\vec{E} = \vec{F}/q [N/C]$	$\vec{F} = m\vec{H}　\vec{H} = \vec{F}/m [N/Wb]$

• 磁気力： 磁気量 m1 [Wb] 、m2 [Wb] 間の距離 r [m] にはたらく力
  $$F = k_m \frac{m_1m_2}{r^2}$$

• 磁場： $1Wb$ の N極を置いたときに受ける力とその向き。磁場 $\vec{H}$ に $m [Wb]$ おいたときの力
  $$\vec{F} = m \vec{H}　\vec{H} = \vec{F}/m [N/Wb]$$

  • 直線電流が作る磁場
    $$H = \frac{I}{2 \pi r} [N/Wb] = [A/m]$$
  • 円形電流が作る磁場
    $$H = \frac{I}{2r} [N/Wb] = [A/m]$$
  • ソレノイドが作る磁場：1m 当たりの巻数 n [回/m]
    $$H = nI [N/Wb] = [A/m]$$

• 電流が磁場から受ける力： 導線に流れる電流の大きさを $I [A]$、磁場の強さを $H [A/m]$、導線の長さを $l [m]$、磁場と導線との角度が $\theta$ とすると、導線を流れる電流が受ける力の大きさ $F [N]$
  $$F = \mu IHl \sin \theta = IBl \sin \theta $$

• 磁束密度： 磁場の強さ $H [A/m]$ に透磁率 $μ [N/A^2]$
  $$\vec{B} = \mu \vec{H}　[T]=[N/A \cdot m]=[Wb/m^2]$$

• 磁束： 磁束密度が $B [Wb/m^2]$ の一様な磁場において、それに垂直な面積 $S [m^2]$ の部分の磁束
  $$\phi = BS [Wb]$$

• ローレンツ力： 磁束密度 $B [T]$ の磁場の中を電気量 $q [C]$ の荷電粒子が速度 $v [m/s]$ で進んでいて、磁場の方向と速度の方向のなす角が $\theta$
  $$f = qvB\sin \theta$$

• ファラデーの電磁誘導の法則： $N$ 巻きのコイルを貫く磁束が、$\Delta t [s]$ 間に $\Delta \phi [Wb]$ だけ変化するとき、コイルに発生する誘導起電力 $V [V]$
  $$V = -N\frac{\Delta \phi}{\Delta t}$$

• 磁場を横切る導線に生じる誘導起電力： 磁束密度 $B [T]$ の一様な磁場の中に、長さは $l [m]$ の導体棒が、速さ $v [m/s]$ の等速で動いたときの誘導起電力
  $$V = vBl$$

• 自己インダクタンス
  $$V = -L\frac{\Delta I}{\Delta t} $$

  • 長さ $l [m]$、断面積 $S [m^2]$、単位長さ当たりの巻き数 $n [回/m]$、巻き数 $N (=nl)$ のコイルがあり、内部に透磁率 $μ [N/A^2]$ の鉄心が挿入されているものとし、流れる電流の大きさを $I [A]$ とします。
    ソレノイドが作る磁束密度： $B = \mu nI$
    磁束： $\phi = BS = \mu nIS$
    発生する誘導起電力： $V = -N \frac{\Delta \phi}{\Delta t} = -N \frac{\mu nS \Delta I}{\Delta t}$ ※変化するのはIのみ
    まとめて： $V = -N \frac{\mu nS \Delta I}{\Delta t} = -N \frac{\mu NS \Delta I}{l \Delta t} = -\frac{\mu N^2S}{l}\frac{\Delta I }{\Delta t} => L = \frac{\mu N^2S}{l}$

• コイルに蓄えられるエネルギー
  $$U = \frac{1}{2}LI^2$$

• 相互インダクタンス：１次コイルを L1 、２次コイルを L2 とし、それぞれの単位長さ当たりの巻き数を n1 [回/m] 、n2 [回/m] 、２つのコイルの断面積を共に S [m2] 、２つのコイル内部の鉄心の透磁率を共に μ [N/A2] 、１次コイル L1 に流れる電流を I1 [A]
  $$V_2 = -M\frac{\Delta I_1}{\Delta t} $$

  • 環状鉄心の場合磁束がもれない： 1次コイル、2次コイルの巻き数を N1、N2 とし、鉄心の透磁率を μ、鉄心の中心部の円周の長さを l、鉄心の断面積を S、1次コイルに流れる電流を I1 とする
    • $B = \frac{\mu N_1I_1}{l}$
      $\phi = BS = \frac{\mu N_1I_1}{l}S$
      $V_2 = -N_2\frac{\Delta \phi}{\Delta t} = -N_2\frac{\mu N_1 S \Delta I_1}{l \Delta t} = -\frac{\mu N_1 N_2 S}{l} \cdot \frac{\Delta I_1}{\Delta t} => M = \frac{\mu N_1 N_2 S}{l}$