微分方程式 - 同次形

解法

\begin{array}{l}
y' = f \left( \frac{y}{x} \right)　　\cdots (*) \\
\\
u = \frac{y}{x} とおく。\\
このとき、y = ux であるので両辺を微分すると y' = u'x + ux' = u'x + u \\
これを（*）に代入すると、\\
u'x + u = f(u) \\
\\
u' = \frac{du}{dx} とおいて整理すると、\\
\frac{du}{dx} = \frac{1}{x} \left( f(u) - u \right) 　　\Rightarrow 変数分離形 \\
\\
f(u) \ne u のとき \\
\int{\frac{1}{f(u) - u}}du = \int{ \frac{1}{x} } dx \\
\rightarrow uとxの関係式を求めて、uを\frac{y}{x}に戻す。\\
\end{array}

例題

• ex1)　$y' = \frac{y^2}{x^2 + xy}$

\begin{array}{l}
右辺をx^2で割ると、y' = \frac{(\frac{y}{x})^2}{1 + \frac{y}{x}} \\
\\
u = \frac{y}{x} とすると、y = ux から y' = u'x + u \\
u'x + u = \frac{u^2}{1 + u} \\
u' = - \frac{u}{1 + u} \frac{1}{x} \\
\frac{du}{dx} = - \frac{u}{1 + u} \frac{1}{x}　\cdots ①\\
u = 0 は①を満たす解である。\\
u \ne 0 のとき \\
\int{ \frac{1 + u}{u} }du = - \int { \frac{1}{x} } dx \\
\int{ \left( 1 + \frac{1}{u} \right) }du = - \int { \frac{1}{x} } dx \\
\int{ }du + \int{ \frac{1}{u} }du = - \int { \frac{1}{x} } dx \\
u + log \left| u \right| = -log \left| x \right| + C \\
log \left| ux \right| = -u + C \\
| ux | = e^{-u + C} \\
ux = \pm e^{-u + C} \\
ux = \pm e^C e^{-\frac{y}{x}} \\
ux = C' e^-u (C' は \pm e^C)\\
\\
\frac{y}{x}x = C' e^{-u}\\
y = 0 の解は、C'=0 とすれば表せるので、改めてCとすれば、\\
\\
y = C e^{-\frac{y}{x}} \\
\end{array}

• ex2)　$y' = \frac{y}{x} + cos^2\frac{y}{x},　y(1) = \frac{\pi}{4}$

\begin{array}{l}
tan \frac{y}{x} = log |x| + 1\\
\end{array}