はじめに、curl コマンドでレスポンスタイムを取得しようとした。

$ TARGET_URL=https://www.google.com/
$ curl ${TARGET_URL} -s -o /dev/null -w  "%{time_starttransfer}\n"
0.308898

問題なく動作した。
次にそれを３秒間隔で実行しようと while を使った。

$ while true; do curl ${TARGET_URL} -s -o /dev/null -w  "%{time_starttransfer}\n"; sleep 3s; done
0.370663
0.374432
0.929187

これも問題なく動作した。
次に出力を output.log にリダイレクトしようとした。

$ while true; do curl ${TARGET_URL} -s -o /dev/null -w  "%{time_starttransfer}\n" >> output.log; sleep 3s; done

$ tail -f output.log 
0.361946
0.413211
0.952241

問題なくリダイレクトされている。
次に nohup をつけてログアウト後も処理を継続しようとした。

$ nohup while true; do curl ${TARGET_URL} -s -o /dev/null -w  "%{time_starttransfer}\n" >> output.log; sleep 3s; done &
bash: syntax error near unexpected token `do'

これはエラーになって動作しない。
別の bash プロセス上で起動する必要がある。

$ nohup bash -c 'while true; do curl ${TARGET_URL} -s -o /dev/null -w  "%{time_starttransfer}\n" >> output.log; sleep 3s; done' &

$ tail -f nohup.out 
curl: no URL specified!
curl: try 'curl --help' or 'curl --manual' for more information

しかしながら、no URL specified と言われてしまう。
別の bash プロセス上で起動しているため、元のシェル変数${TARGET_URL} が見えなくなってしまっている。
そこで環境変数として定義しなおしてみる。

$ export TARGET_URL=https://www.google.com
$ nohup bash -c 'while true; do curl ${TARGET_URL} -s -o /dev/null -w  "%{time_starttransfer}\n" >> output.log; sleep 3s; done' &

$ tail -f output.log 
0.361946
0.413211
0.952241

問題なく出力することができる。
もし、環境変数として定義したくない場合は、実行するコマンドの最初にシェル変数を定義してあげる。

$ nohup bash -c 'TARGET_URL=https://www.google.com/; while true; do curl ${TARGET_URL} -s -o /dev/null -w  "%{time_starttransfer}\n" >> output.log; sleep 3s; done' &