ZooKeeper サーバーはどのようにして Leader を決めているのか？

公式ドキュメントによると、アルゴリズムはTCPをベースにしたものがデフォルトになっているらしい。
実際に選出される Leader は特に早いもの勝ちという訳ではなく、ZooKeeper アンサンブルが構築された時点（5台構成なら、３台が起動した時点）でその３台の中からランダムに選出がされている模様。（実際にはここでTCPベースのアルゴリズムに依存しているのかもしれないが）

Election implementation to use. A value of "0" corresponds to the original UDP-based version, "1" corresponds to the non-authenticated UDP-based version of fast leader election, "2" corresponds to the authenticated UDP-based version of fast leader election, and "3" corresponds to TCP-based version of fast leader election. Currently, algorithm 3 is the default
The implementations of leader election 0, 1, and 2 are now deprecated . We have the intention of removing them in the next release, at which point only the FastLeaderElection will be available.

ZooKeeper のサーバ間はどのようなやりとりがされているのか？

ZooKeeper は1台 Leader と呼ばれるサーバーがおり、残りが Follower として動作している。

ServerA(Follower)
ServerB(Follower)
ServerC(Leader)

基本的に通信は Leader と Follower の間でのみ行われ、Follower 間での通信は発生しない。

ServerA(Follower)「Leader とだけやり取りします」
ServerB(Follower)「Leader とだけやり取りします」
ServerC(Leader)「全 Follower とやり取りするよ」

Follower 間の通信は Leader を探すときと Leader を選出する時に発生する。

ServerA(Follower)「Leader は誰ですか?」
ServerB(Follower)「俺じゃないよ」
ServerC(Leader)「僕が Leader だよ」

ZooKeeper のクライアントはどのサーバーに接続するのか？

接続先はランダムに決定する（はず）。
特にどのサーバーが現在の Leader なのかは、クライアント側としては関係ない。

クライアント「どのサーバにお願いしようかな。A～Cの誰でもいいや。」

ZooKeeper のサーバー間はどのようにしてデータを同期しているのか？

クライアント側から何らかのデータ更新要求を受けた ZooKeeper サーバーはそれをまず Leader へ報告する。（Leader が直接要求を受けた場合はそのまま処理を継続）
Leader は報告を受けた順に（ひとつずつ）処理するが、まず全 Follower に対してデータ更新の提案(proposal)を行う。
Leader は過半数以上の Follower (5台構成なら3台以上）から同意（agreement)を得られれば、そのデータ更新作業を commit する。
そのため、ある別々のクライアントからのデータ参照要求が同時にあったとしても、サーバーによって異なる結果を返すことはない。

ServerA(Follower)「Leader！クライアントからデータの更新依頼がありました！」
ServerC(Leader)「ちょっと待ってくれ、一つずつしか処理できんから」
ServerC(Leader)「みんな！このデータ更新するよー」
ServerA(Follower)「了解です！」
ServerB(Follower)「承知しました！」
ServerC(Leader)「よーしコミットするよ！」
クライアント「どのサーバーに聞いても同じ回答くれるから助かるよ」