はじめに
App Serviceドメインを購入して追加する方法についてはよく書かれているが、お名前.comなどAzure外でのドメインの追加方法についてはあまり書かれていないので、備忘録として残しておく。
手順
ドメインの登録そのものは以下を参照。
ドメインサービスのご契約について
全てのサービスからDNSゾーンを選択する。

DNSゾーンで追加を選択する。

サブスクリプションとリソースグループを選択し、名前に該当のドメインを入力する。
確認と作成を選択する。

作成を選択する。

DNSゾーンを作成できたら、ネームサーバーを確認し、お名前.comにAzureのネームサーバーを登録する。

お名前.com Naviのトップページに行き、ネームサーバーを設定するを選択する。

その他のネームサーバーを使うを選択し、Azureのネームサーバー4台を登録する。

ターミナルで以下コマンドを入力し、ネームサーバーが切り替わっているかどうか確認する。
dig 購入したドメイン名 ns +short
カスタムドメインを選び、カスタムドメインの追加を押下する。

カスタムドメインで該当のドメインを入力し、検証ボタンを押す。レコードタイプはCNAME

そうするとドメイン所有権で警告が出るので、CNAMEレコードの値をコピーする。

DNSゾーンに戻り、レコードセットを追加する。

名前にwwwを追加し、種類をCNAMEにする。OKを選択する。

カスタムドメインの追加に戻るとドメイン所有権が問題なくなるので、カスタムドメインの追加ボタンを選択する。

参考
作りながら覚えるMicrosoft Azure入門講座(PaaS編)