何回やればいいって？
1%のガチャを当たるまで引く場合、
確率を95%にするには299回
確率を99%にするには459回
やればよい。
何億回やっても100%にはならない。
別の確率のガチャなら？
| ガチャ確率 | 当たるまで引く回数 | ||
|---|---|---|---|
| 95%ライン | 99%ライン | 99.9%ライン | |
| 100.00% | 1 | 1 | 1 |
| 10.00% | 29 | 44 | 66 |
| 1.00% | 299 | 459 | 688 |
| 0.10% | 2995 | 4603 | 6905 |
| 0.01% | 29956 | 46050 | 69075 |
| 0.001% | 299572 | 460515 | 690773 |
上記の表を見ればわかるとおり、結論から言えば、
$1/n$の確率で当たるガチャを当たるまで回す場合、
$3×n$回ガチャを回せば95%の確率で少なくとも1回当たる。
$4.61×n$回ガチャを回せば99%の確率で少なくとも1回当たる。
個人的に95%の場合を 「回数三倍の法則」 と私は呼んでいる。だいたい確率の3倍ぐらいの回数を見込んでガチャやくじ引きはやるとよいからだ。（注：正式な数学用語ではない）
例えば、1/2000の確率で当たるガチャなら約6000回回せば95%の確率で出てくる。
以下蛇足
なぜこの数式になるのか？
以下、高校程度の数学の知識を前提とする。
確率$p$で当たるガチャを、$k$回引いて少なくとも1回は当たる確率$F_p(k)$は、計算すると
$$ F_p(k)=1-(1-p)^k $$となる。（ちなみに、これは幾何分布の累積分布関数に等しい。）
上記の確率は、「$k$回引いても連続で外れる」確率が$(1-p)^k$であり、それが起こらない確率を求めたいので$1-(1-p)^k $となるのである。
例えば、$p=0.01$の場合、
$$ F_{0.01}(k)=1-0.99^k $$
となるので、例えば$k$に数値を入れると
$$ F_{0.01}(10)=1-0.99^{10} \fallingdotseq 0.095$$$$ F_{0.01}(100)=1-0.99^{100} \fallingdotseq 0.634$$$$ F_{0.01}(300)=1-0.99^{300} \fallingdotseq 0.951$$$$ F_{0.01}(461)=1-0.99^{461} \fallingdotseq 0.990$$$$ F_{0.01}(1000)=1-0.99^{1000} \fallingdotseq 0.999$$となる。
そして、例えば95%ラインについて考える場合、$F_p(k)≧0.95$という条件を満たせばよいので、$$ F_p(k)=1-(1-p)^k ≧0.95 $$$$ 1-0.95 ≧(1-p)^k $$両辺の対数をとって$$ \log(1-0.95) ≧k\log(1-p) $$$1-p<1$なので$\log(1-p)<0$なので$$ \frac{\log(1-0.95)}{\log(1-p)} ≧k $$となるような最大の自然数$k$を求めればよい。
ここで、確率$p=1/n$とおき、$n$が十分大きいという仮定でローラン展開すると、
$$ \frac{1}{\log(1-1/n)} \fallingdotseq -n + \frac{1}{2} + \frac{1}{12n}+… > -n $$より、
$$-n*\log(1-0.95) >k $$という数式が得られる。計算すると$\log(1-0.95)=-2.9957…$となるので、
$$-n*\log(1-0.95) < 3n $$より
$$ k < 3n $$という数式が得られる。これが「回数三倍の法則」の証明である。
99%ラインを考えるとき、$\log(1-0.95)$をそのまま$\log(1-0.99)$に置き換えればよいので、$\log(1-0.99)=-4.605…$より
$$ k < 4.61n $$
が得られるのである。
まとめ
$1/n$の確率で当たるガチャを当たるまで回す場合、
$3×n$回ガチャを回せば95%の確率で少なくとも1回当たる。
$4.61×n$回ガチャを回せば99%の確率で少なくとも1回当たる。
ガチャは期待値の3倍のお金を考慮して、計画的に回しましょう。