matlab高速化の常套手段「ベクトル化」をまとめてみました。
あくまで入門レベルです。
ベクトル化とは？
簡単に言うと、スカラ値を行列に置き換えることです。
これにより、計算速度を劇的に上げることができます。
やってみる
簡単なベクトル化。まずは配列で。
A = [1:100] ; % 1~100の配列
f = @(x) 2*x + 1 ; % テストのための計算式（関数ハンドルで生成。）
B = f(A') ; % ベクトル化計算（なんとなく列ベクトルのほうがイメージしやすいと思うので、「'」でAを転置。）
式で書くと、結果の行列Bはこんな感じで生成されます。
B = 2*
\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
... \\
100
\end{pmatrix}
+1=
\begin{pmatrix}
3 \\
4 \\
... \\
201
\end{pmatrix}
要素ごとに計算してくれます。ループで一要素ずつ計算するよりずっと早いです。
（いわゆるGPUの並列処理のような感じなのかな？）
結果も要素ごと、つまりAと同じサイズの配列でBが生成されます。
ちなみに、これをループで書くと、こんな感じ。
B = size(size(A)) ;
for i = 1:numel(A)
B(i) = f(A(i)) ;
end
もちろん、配列だけでなく行列もできます。
C = randi(10, 5, 5) ; % 1~10の整数のランダムな5x5行列を生成
D = f(C) ;
D ;
DはCと同じサイズの行列として生成されます。
なんて素敵なんだ・・・！
行列と行列で
行列サイズが同じなら、複数の変数をベクトル化できます。
例えば、ランダムな値の積をとろうとしたとき、
E=randi(10,5,5);
F=randi(10,5,5);
G=E.*F;
これで、行列EとFの対応する要素の積を一気に計算できます。
この「.*」とは、要素ごとの積を意味します。「*」だけなら、行列の積です。
（「.*」を使う際は、EとFの行列サイズが同じであることが前提です）
で、これをループで書くと、
G = size(5, 5) ;
for i = 1:5
for j = 1:5
G(i, j) = E(i, j)*F(i, j) ;
end
end
長い！
計算時間以前に、コードが長くなりますね。
ちょっとステップアップ
meshgridを組み合わせてみます。
X, Yの全ての組み合わせを一気に計算したいとき、
X = [1:50];
Y = [20:30] ;
[MX, MY] = meshgrid(X, Y) ;
g = @(x, y) x + y ;
M = g(MX, MY) ;
これはつまり、
MX: 10x50, MY: 10x50
MX =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & .. & 50\\
1 & 2 & .. & 50\\
... \\
1 & 2 & .. & 50\\
\end{pmatrix}
, MY=
\begin{pmatrix}
20 & 20 & ... & 20\\
21 & 21 & ... & 20\\
... \\
30 & 30 & ... & 30\\
\end{pmatrix}\\
M=
\begin{pmatrix}
1+20 & 2+20 & ... & 50+20\\
1+21 & 1+21 & ... & 50+20\\
... \\
1+30 & 1+30 & ... & 50+30\\
\end{pmatrix}
repmatを使ってMXとMYをそれぞれ生成することもできますが、meshgridなら一発で組み合わせ用の行列を用意できます。
さいごに
ベクトル化の利点は、高速化もさることながら、スカラ値向けの計算式をほぼそのまま使えることです。
式がそのままなので、ロジックを理解する手助けになるのではと感じています。
もちろん、前述の通り、積は「.*」か「*」かをはっきりさせる必要はありますが。
では！